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@ -703,10 +703,19 @@ export default class Statistica extends Component {
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<Split title={"Disuguaglianze notevoli"}>
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<Split title={"Disuguaglianze notevoli"}>
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<Panel title={"Disuguaglianza di Markov"}>
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<Panel title={"Disuguaglianza di Markov"}>
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<p>
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<p>
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La disuguaglianza di Markov serve a "stabilire un limite superiore al valore della probabilità" quando si è solo a conoscenza del valore atteso.
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Data una variabile aleatoria non-negativa:
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</p>
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</p>
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<p>
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<Latex>{r`\forall K > 0, P([g(X) \geq K]) \leq \frac{E(g(X))}{K}`}</Latex>
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<Latex>{r`\forall k > 0, P([X \geq k]) \leq \frac{E(X)}{k}`}</Latex>
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</p>
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<p>
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Divide in due parti (<Latex>{r`P(X < k)`}</Latex> e <Latex>{r`P(X \geq k)`}</Latex>) la funzione X, la cui media risulterà uguale a:
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</p>
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<p>
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<Latex>{r`E(X) = \overline{k} \cdot P(X < k) + k \cdot P(X \geq k)`}</Latex>
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</p>
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<p>
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<Todo>TODO: Ha senso questa minidimostrazione?</Todo>
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</p>
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</p>
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</Panel>
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</Panel>
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<Panel title={"Disuguaglianza di Čebyšëv"}>
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<Panel title={"Disuguaglianza di Čebyšëv"}>
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@ -1148,7 +1157,7 @@ export default class Statistica extends Component {
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<Split title={"Esponenziale"}>
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<Split title={"Esponenziale"}>
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<Panel title={"Distribuzione esponenziale"}>
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<Panel title={"Distribuzione esponenziale"}>
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<p>
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<p>
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Una variabile aleatoria che conta il tempo di attesa prima del primo arrivo di un processo di Poisson di intensità <Latex>{r`\lambda`}</Latex>.
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Una variabile aleatoria che conta il tempo diwidehattesa prima del primo arrivo di un processo di Poisson di intensità <Latex>{r`\lambda`}</Latex>.
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</p>
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</p>
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<p>
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Il suo simbolo è <Latex>{r`Esp(\lambda)`}</Latex>.
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Il suo simbolo è <Latex>{r`Esp(\lambda)`}</Latex>.
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@ -1209,7 +1218,7 @@ export default class Statistica extends Component {
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<Split title={"Legge gamma"}>
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<Split title={"Legge gamma"}>
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<Panel title={"Distribuzione gamma"}>
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<Panel title={"Distribuzione gamma"}>
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<p>
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<p>
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Una variabile aleatoria che conta il tempo di attesa prima dell'<Latex>n</Latex>-esimo arrivo di un processo di Poisson di intensità <Latex>{r`\lambda`}</Latex>.
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Una variabile aleatoria che conta il tempo diwidehattesa prima dell'<Latex>n</Latex>-esimo arrivo di un processo di Poisson di intensità <Latex>{r`\lambda`}</Latex>.
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</p>
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</p>
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<p>
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<p>
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Il suo simbolo è <Latex>{r`\Gamma(n, \lambda)`}</Latex>.
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Il suo simbolo è <Latex>{r`\Gamma(n, \lambda)`}</Latex>.
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@ -1908,7 +1917,7 @@ export default class Statistica extends Component {
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</Panel>
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</Panel>
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<Panel title={"Consistente in probabilità"}>
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<Panel title={"Consistente in probabilità"}>
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Uno stimatore è <i>consistente</i> se:
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Uno stimatore è <i>consistente in probabilità</i> se:
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</p>
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<p>
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<p>
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<Latex>{r`\forall \epsilon > 0, \lim_{n \to +\infty} P( |T_n - \theta| < \epsilon) = 1`}</Latex>
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<Latex>{r`\forall \epsilon > 0, \lim_{n \to +\infty} P( |T_n - \theta| < \epsilon) = 1`}</Latex>
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@ -1932,52 +1941,89 @@ export default class Statistica extends Component {
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Si può usare il <i>metodo dei momenti</i> per ottenere uno stimatore di una popolazione <Latex>X</Latex>.
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Si può usare il <i>metodo dei momenti</i> per ottenere uno stimatore di una popolazione <Latex>X</Latex>.
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</p>
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</p>
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<p>
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<p>
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Lo stimatore di <Latex>{r`\theta`}</Latex> così ottenuto sarà indicato aggiungendo un cappellino e una <Latex>M</Latex> a <Latex>\theta</Latex>: <Latex>{r`\hat{\theta}_M`}</Latex>
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Lo stimatore di <Latex>{r`\theta`}</Latex> così ottenuto sarà indicato aggiungendo un cappellino e una <Latex>M</Latex> a <Latex>\theta</Latex>: <Latex>{r`\widehat{\theta}_M`}</Latex>
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Visto che:
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Visto che:
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<ul>
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<ul>
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<li><Latex>{r`\theta = g(E(X))`}</Latex></li>
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<li><Latex>{r`\theta = g(E(X))`}</Latex></li>
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<li><Latex>{r`\hat{E(X)} = \overline{X}_n`}</Latex></li>
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<li><Latex>{r`\widehat{E(X)} = \overline{X}_n`}</Latex></li>
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</ul>
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</ul>
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Allora:
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Allora:
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<Latex>{r`\hat{\theta}_M = g( \overline{X}_n )`}</Latex>
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<Latex>{r`\widehat{\theta}_M = g( \overline{X}_n )`}</Latex>
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</p>
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</p>
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<p>
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<p>
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Se <Latex>{r`\theta`}</Latex> non è esprimibile in termini di <Latex>{r`E(X)`}</Latex>, si possono usare i momenti successivi <Latex>{r`M_n^2`}</Latex>, <Latex>{r`M_n^3`}</Latex>, <Latex>{r`M_n^3`}</Latex>...
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Se <Latex>{r`\theta`}</Latex> non è esprimibile in termini di <Latex>{r`E(X)`}</Latex>, si possono usare i momenti successivi <Latex>{r`M_n^2`}</Latex>, <Latex>{r`M_n^3`}</Latex>, <Latex>{r`M_n^3`}</Latex>...
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</p>
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</p>
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</Panel>
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</Panel>
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<Panel title={"Stima di una bernoulliana"}>
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<Latex>{r`\hat{p}_M = \overline{X}_n`}</Latex>
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</p>
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</Panel>
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<Panel title={"Stima di una poissoniana"}>
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<Latex>{r`\hat{\mu}_M = \overline{X}_n`}</Latex>
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</p>
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</Panel>
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<Panel title={"Stima di una esponenziale"}>
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<Latex>{r`\hat{\lambda}_M = \frac{1}{\overline{X}_n}`}</Latex>
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</p>
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</Panel>
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</Split>
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</Split>
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<Split title={"Metodo della verosomiglianza"}>
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<Split title={"Metodo della massima verosomiglianza"}>
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<Panel title={"Metodo della massima verosomiglianza"}>
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<Panel title={"Metodo della massima verosomiglianza"}>
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<p>
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<p>
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Si può usare il <i>metodo della massima verosomiglianza</i> per ottenere uno stimatore di una popolazione <Latex>X</Latex>.
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Si può usare il <i>metodo della massima verosomiglianza</i> per ottenere uno stimatore di una popolazione <Latex>X</Latex>.
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</p>
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</p>
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<p>
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<p>
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Lo stimatore di <Latex>{r`\theta`}</Latex> così ottenuto sarà indicato aggiungendo un cappellino e una <Latex>L</Latex> a <Latex>\theta</Latex>: <Latex>{r`\hat{\theta}_L`}</Latex>
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Lo stimatore di <Latex>{r`\theta`}</Latex> così ottenuto sarà indicato aggiungendo un cappellino e una <Latex>L</Latex> a <Latex>\theta</Latex>: <Latex>{r`\widehat{\theta}_L`}</Latex>
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</p>
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</p>
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<p>
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<p>
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<Todo>TODO: oops, l'ho skippato</Todo>
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Consiste nel trovare il massimo assoluto <Latex>{r`\widehat{\theta}_L`}</Latex> della la funzione di verosomiglianza <Latex>{r`L`}</Latex>:
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</p>
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</p>
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<p>
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<Latex>{r`L(x_1, ..., x_n; \theta) = \prod_{i=1}^n f_X(x_i; \theta)`}</Latex>
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</p>
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<p>
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Gli stimatori di massima verosomiglianza sono <b>asintoticamente corretti</b>, <b>consistenti in probabilità</b> e <b>asintoticamente normali</b>.
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</p>
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</Panel>
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<Panel title={"Proprietà degli stimatori di massima verosomiglianza"}>
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<p>
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Gli stimatori di massima verosomiglianza godono delle seguenti proprietà:
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</p>
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<ul>
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<li>Sono <b>asintoticamente corretti</b>.</li>
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<li>Sono <b>consistenti in probabilità</b>.</li>
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<li>Sono <b>asintoticamente normali</b>.</li>
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|
<li>Sono <b>invarianti</b>: <Latex>{r`\widehat{g(\theta)}_L = g(\widehat{\theta}_L)`}</Latex></li>
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</ul>
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</Panel>
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</Split>
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<Split title={"Nuove stime notevoli"}>
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<Panel title={"Stima di una bernoulliana"}>
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<p>
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|
Per il metodo dei momenti oppure per il metodo della massima verosomiglianza:
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</p>
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<p>
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<Latex>{r`\widehat{p}_M = \widehat{p}_L = \overline{X}_n`}</Latex>
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</p>
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</Panel>
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<Panel title={"Stima di una poissoniana"}>
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<p>
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|
Per il metodo dei momenti oppure per il metodo della massima verosomiglianza:
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</p>
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<p>
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<Latex>{r`\widehat{\mu}_M = \widehat{\mu}_L = \overline{X}_n`}</Latex>
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</p>
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</Panel>
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<Panel title={"Stima di una esponenziale"}>
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<p>
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Per il metodo dei momenti oppure per il metodo della massima verosomiglianza:
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</p>
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<p>
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<Latex>{r`\widehat{\lambda}_M = \widehat{\lambda}_L = \frac{1}{\overline{X}_n}`}</Latex>
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</p>
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</Panel>
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<Panel title={"Stima di una normale"}>
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<p>
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Per il metodo della massima verosomiglianza:
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</p>
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<ul>
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<li><Latex>{r`\widehat{\mu}_L = \overline{X}_n`}</Latex></li><br/>
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<li><Latex>{r`\widehat{\sigma^2}_L = \frac{\sum (X_i - \overline{X}_n)^2 }{n}`}</Latex></li>
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</ul>
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||||||
</Panel>
|
</Panel>
|
||||||
</Split>
|
</Split>
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||||||
<Split title={"Intervalli di confidenza"}>
|
<Split title={"Intervalli di confidenza"}>
|
||||||
|
|
@ -1989,16 +2035,53 @@ export default class Statistica extends Component {
|
||||||
L'intervallo di valori di <Latex>\theta</Latex> all'interno del quale siamo "più o meno sicuri" si trovi il valore effettivo:
|
L'intervallo di valori di <Latex>\theta</Latex> all'interno del quale siamo "più o meno sicuri" si trovi il valore effettivo:
|
||||||
</p>
|
</p>
|
||||||
<p>
|
<p>
|
||||||
L'intervallo di confidenza a N della stima <Latex>{r`\hat{Z}`}</Latex> è l'intervallo <Latex>]a, b[</Latex> tale che:
|
L'intervallo di confidenza a N della stima <Latex>{r`\widehat{W}`}</Latex> è l'intervallo <Latex>]a, b[</Latex> tale che:
|
||||||
</p>
|
</p>
|
||||||
<p>
|
<p>
|
||||||
<Latex>{r`P( a < Z < b ) = N`}</Latex>
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<Latex>{r`P( a < W < b ) = N`}</Latex>
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||||||
</p>
|
</p>
|
||||||
<p>
|
<p>
|
||||||
Può anche essere <b>unilatero</b> nel caso limiti la stima in una sola direzione, positiva o negativa.
|
Può anche essere <b>unilatero</b> nel caso limiti la stima in una sola direzione, positiva o negativa.
|
||||||
</p>
|
</p>
|
||||||
</Panel>
|
</Panel>
|
||||||
</Split>
|
</Split>
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||||||
|
<Split title={"Confidenza nella media di una normale"}>
|
||||||
|
<Panel title={"Varianza nota"}>
|
||||||
|
<p>
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||||||
|
Se conosciamo la varianza di una normale, allora possiamo ricavare velocemente gli intervalli di confidenza all'<Latex>\alpha</Latex>% con queste formule:
|
||||||
|
</p>
|
||||||
|
<ul>
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||||||
|
<li>Intervalli bilateri: <Latex>{r`\mu \in \left[ \overline{x}_n - z_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}, \overline{x}_n + z_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{\sigma^2}{n}} \right]`}</Latex></li>
|
||||||
|
<li>Intervallo unilatero da sinistra: <Latex>{r`\mu \in \left( -\infty, \overline{x}_n + z_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{\sigma^2}{n}} \right]`}</Latex></li>
|
||||||
|
<li>Intervallo unilatero da destra: <Latex>{r`\mu \in \left[ \overline{x}_n - z_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}, +\infty \right)`}</Latex></li>
|
||||||
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</ul>
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</Panel>
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<Panel title={"Varianza incognita"}>
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<p>
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<Todo>TODO: Cos'è la distribuzione di Student?</Todo>
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</p>
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</Panel>
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</Split>
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<Split title={"Confidenza per la proporzione di una bernoulliana"}>
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<Panel title={"Terzo metodo corretto"}>
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L'intervallo di confidenza per la proprorzione di una bernoulliana qualsiasi si ottiene da questa formula:
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<Latex>{r`p \in \left[ \overline{p} - z_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{\overline{p} \cdot (1 - \overline{p})}{n+4}}, \overline{p} + z_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{\overline{p} \cdot (1 - \overline{p})}{n+4}} \right]`}</Latex>
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</p>
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</Panel>
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</Split>
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<Split title={"Confidenza per la media di qualsiasi popolazione"}>
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<Panel title={"Approssimando con la normale"}>
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L'intervallo di confidenza per la media di una qualsiasi popolazione si ottiene da questa formula:
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</p>
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<Latex>{r`m \in \left[ \overline{x}_n - z_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{s^2_n}{n}}, \overline{x}_n + z_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{s^2_n}{n}} \right]`}</Latex>
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</p>
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</Panel>
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}
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}
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