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Proposizione

Una successione definitivamente limitata e' (sempre) limitata.

Ipotesi

a(n) definitivamente limitata

Esistono M e p tale che, per ogni n maggiore di p, a(n) <= M.

\exists M, p | \forall n \geq p, a(n) \leq M

Tesi

a(n) limitata

Esiste M' tale che, per ogni n appartenente ai naturali, a(n) <= M'.

\exists M' | \forall n \in N, a(n) \leq M

Dimostrazione

Sia A l'insieme dei risultati di a(n) per tutti i numeri naturali minori di p.
A e' non-vuoto; ha un numero finito di elementi: dunque, esiste max A = M'.
Se n >= p, a(n) \leq M \leq M'.
Se n < p, a(n) \leq M'.
In generale, quindi, a(n) \leq M.

Successione convergente (fondamentale per l'esame)

Una successione a(n) e' convergente se \exists l \in R | \forall \epsilon > 0, \exists m : \forall n \geq m, abs(a(n) - l) < \epsilon, ovvero l - \epsilon < a(n) < l + \epsilon