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A =
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\begin{pmatrix}
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1 & x_0 & x_0^2 & \dots & x_0^n\\\\
|
|
1 & x_1 & x_1^2 & \dots & x_1^n\\\\
|
|
1 & x_2 & x_2^2 & \dots & x_2^n\\\\
|
|
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\\\
|
|
1 & x_n & x_n^2 & \dots & x_n^n
|
|
\end{pmatrix}
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`))),l("p",null,"Costruiamo il ",l("b",null,"vettore delle incognite"),":"),l(o.p,null,y(m||(m=I`
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x =
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\begin{pmatrix}
|
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a_0\\\\
|
|
a_1\\\\
|
|
a_2\\\\
|
|
\vdots\\\\
|
|
a_n
|
|
\end{pmatrix}
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`))),l("p",null,"Costruiamo il ",l("b",null,"vettore dei termini noti"),":"),l(o.p,null,y(f||(f=I`
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b =
|
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\begin{pmatrix}
|
|
y_0\\\\
|
|
y_1\\\\
|
|
y_2\\\\
|
|
\vdots\\\\
|
|
y_n
|
|
\end{pmatrix}
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`))),l(a.a,null,"Per trovare il polinomio di interpolazione è sufficiente risolvere il problema!"),l("p",null,"È efficace perchè una volta calcolati i coefficienti essi ",l("b",null,"valgono per tutti i punti"),", ma ha come svantaggio che la matrice di Vandermonde è ",l("b",null,"spesso malcondizionata."))),l(o.q,{title:"Metodo di Lagrange"},l("p",null,"È possibile scrivere il polinomio di interpolazione ",l("b",null,"raccogliendo le ",l(o.h,null,y(h||(h=I`y`)))),":"),l(o.p,null,y(g||(g=I`p_n (x) = y_0 L_0 + y_1 L_1 + y_2 L_2 + \dots + y_n L_n`))),l("p",null,"I polinomi ",l(o.h,null,y(b||(b=I`L_k`)))," sono detti ",l("b",null,"polinomi di Lagrange"),", e hanno le seguenti proprietà:"),l("ul",null,l("li",null,"Valgono ",l(o.h,null,"1")," in corrispondenza del nodo con lo stesso indice, ",l(o.h,null,"0")," in corrispondenza dei nodi con indice diverso e ",l(o.h,null,y(_||(_=I`0 < n < 1`)))," in tutti gli altri casi.",l(o.p,null,y(z||(z=I`
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\begin{cases}
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L_k(x_k) = 1 \qquad (nel\ nodo)\\
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|
L_k(x_j) = 0 \qquad (altri\ nodi)
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\end{cases}
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`)))),l("li",null,"Si compongono con questo prodotto:",l(o.p,null,y(v||(v=I`L_k = \frac{(x - x_0) \cdot \dots \cdot (x - x_{k-1}) \cdot (x - x_{k+1}) \cdot \dots \cdot (x_k - x_n)}{(x_k - x_0) \cdot \dots \cdot (x_k - x_{k-1}) \cdot (x_k - x_{k+1}) \cdot \dots \cdot (x_k - x_n)}`))))),l(a.a,null,"Non c'è il termine con ",l(o.h,null,y(x||(x=I`x_k`))),"!"),l("p",null,"Tutti insieme formano la ",l("b",null,"base di Lagrange"),"."),l(a.a,null,"Si chiama base perchè sono ",l("b",null,"linearmente indipendenti"),"!"),l("p",null,"Questo metodo permette di calcolare il valore del polinomio di interpolazione ",l("b",null,"in un singolo punto"),":"),l(a.a,null,l("p",null,"Si può risparmiare tempo di calcolo calcolando una singola volta il numeratore con ",l("i",null,"tutti")," i termini:"),l(o.p,null,y(q||(q=I`\omega_n = (x - x_0) \cdot (x - x_1) \cdot \dots \cdot (x - x_n)`))),l("p",null,"E poi dividendo per il termine che andrebbe escluso:"),l(o.p,null,y(k||(k=I`L_k(x) = \frac{ \omega_n }{ (x - x_k) \cdot \prod_{i=0, i \neq k} (x_k - x_i) }`)))),l("p",null,"Ha costo computazionale ",l(o.h,null,y(L||(L=I`O(n^2)`))),"."))),l(o.r,{title:"Resto di interpolazione"},l(o.q,{title:"Definizione"},l("p",null,"È l'",l("b",null,"errore compiuto durante l'interpolazione"),"."),l("p",null,"Se la funzione ",l(o.h,null,"f")," è interpolata da ",l(o.h,null,"p_n"),", allora esso varrà:"),l(o.p,null,y(A||(A=I`R_n(x) = f(x) - p_n(x)`))),l("p",null,"In particolare, è interessante la sua norma a infinito, ",l(o.h,null,y(O||(O=I`\| f - p_n \|_\infty`))),", che corrisponde alla distanza massima tra le due funzioni."),l("p",null,"Un teorema dice che esso è uguale a: ",l(o.u,null,"TODO: Non credo serva.")),l(o.p,null,y(C||(C=I`R_n(x) = \frac{ \omega_n(x) }{ (n + 1)! } \cdot f^{(n+1)}(\Xi)`)))),l(o.q,{title:"Stima"},l("p",null,l(o.u,null,"TODO: Tutta la dimostrazione di queste due affermazioni.")),l("p",null,"L'errore nell'interpolazione dipende principalmente da due fattori:"),l("ul",null,l("li",null,"Come sono ",l("b",null,"distribuiti sull'asse X")," i punti da interpolare"),l("li",null,"Il grado del polinomio di interpolazione"))),l(o.q,{title:"Fenomeno di Runge"},l("p",null,"Fenomeno che si verifica cercando di interpolare la funzione di Runge (",l(o.h,null,y(S||(S=I`\frac{1}{1 + 25x^2}`))),")."),l("p",null,"Scegliendo ",l("b",null,"nodi equispaziati"),", l'errore di interpolazione sarà ",l("span",{style:"font-size: x-large;"},"ENORME")," vicino ai due estremi dell'intervallo."),l(a.a,null,"Addirittura, più nodi verranno scelti, più esso sarà alto!"),l("p",null,"Si evita scegliendo i nodi in una maniera diversa.")),l(o.q,{title:"Nodi di Chebychev"},l("p",null,"La ",l("b",null,"scelta ottimale")," dei punti di interpolazione."),l("p",null,"Consiste nel partizionare una semicirconferenza, e proiettare le partizioni sul diametro."),l("p",null,"La formula usata per ottenere ",l(o.h,null,y(M||(M=I`n`)))," punti è:"),l(o.p,null,y(w||(w=I`x_i = \cos \left( \frac{ (2 \cdot i + 1) \cdot \pi }{ 2 \cdot (n+1) } \right)`))))))}}).call(this,i("hosL").h)},"4UPQ":function(){},"5aVd":function(l){l.exports={menulist:"menulist__2Cmnq"}},FEtp:function(l,n,i){"use strict";(function(l){i("h/TB");var e=i("hosL"),o=i("mbOI"),a=i("ke5e");let t,u,r,s,c,d,p,m,f,h,g,b,_,z,v,x,q,k,L,A,O,C,S,M,w,I,y,E,F,T,U,D,N,P,R,G,Q,j,H,Y,J,V,X,B,Z,K,W,$,ll,nl,il,el,ol,al,tl,ul,rl,sl,cl=l=>l;const dl=String.raw;n.a=function(){return l(e.Fragment,null,l(o.r,{title:"Problema: Ricerca degli zeri di funzione"},l(o.q,{title:"Descrizione"},l("p",null,"Si vogliono trovare i punti (",l("i",null,"zeri"),") in cui una funzione ",l("b",null,"continua")," ",l(o.h,null,"f : [a, b] \\to R")," vale ",l(o.h,null,"0"),"."),l("p",null,"Per il ",l("b",null,"teorema del valore medio"),", se ",l(o.h,null,dl(t||(t=cl`f(a) \cdot f(b) \leq 0`))),", allora esiste sicuramente un punto in cui la funzione vale 0."),l("p",null,"Denominiamo il punto in cui la funzione vale ",l(o.h,null,"0")," come ",l(o.h,null,dl(u||(u=cl`x_{(\star)}`))),".")),l(o.q,{title:"Condizionamento"},l("p",null,"Più la ",l("b",null,"derivata prima")," della funzione ",l("b",null,"si avvicina allo 0"),", ",l("b",null,"peggio")," il problema sarà condizionato."),l(o.p,null,dl(r||(r=cl`f'(x_{(\star)}) \simeq 0 \implies mal\ condizionato`))))),l(o.r,null,l(o.q,{title:"Ordine di convergenza"},l("p",null,"Indice ",l(o.h,null,dl(s||(s=cl`{\color{Orange} p}`)))," di quanto in fretta una successione converge alla soluzione."),l(o.p,null,dl(c||(c=cl`\lim_{i \to +\infty} \frac{ \left| x_{(i+1)} - x_{(\star)} \right| }{ \left| x_{(k)} - x_{(\star)} \right|^{\color{Orange} p}}`))),l("ul",null,l("li",null,l("u",null,"Convergenza lineare"),": ",l(o.h,null,dl(d||(d=cl`p = 1`)))," e ",l(o.h,null,dl(p||(p=cl`0 < C < 1`)))),l("li",null,l("u",null,"Convergenza superlineare"),": ",l(o.h,null,dl(m||(m=cl`p = 1`)))," e ",l(o.h,null,dl(f||(f=cl`C = 0`)))),l("li",null,l("u",null,"Convergenza quadratica"),": ",l(o.h,null,dl(h||(h=cl`p = 2`)))," e ",l(o.h,null,dl(g||(g=cl`0 < C < 1`)))),l("li",null,l("u",null,"Convergenza superquadratica"),": ",l(o.h,null,dl(b||(b=cl`p = 2`)))," e ",l(o.h,null,dl(_||(_=cl`C = 0`)))),l("li",null,"...")))),l(o.r,{title:"Metodi dicotomici"},l(o.q,{title:"Cosa sono?"},l("p",null,"Sono ",l("b",null,"metodi iterativi")," in grado di ridurre sempre di più l'intervallo in cui è definita la funzione, facendolo convergere allo zero desiderato."),l("p",null,"Alcuni di essi sono il ",l("i",null,"metodo dicotomico")," e il ",l("i",null,"metodo regula falsi"),"."),l("p",null,"Richiedono ",l("b",null,"una valutazione di funzione non-lineare")," ad ogni iterazione."),l("p",null,"Ad ogni iterazione, l'intervallo viene sempre ",l("i",null,"almeno")," ",l("b",null,"dimezzato"),"; si ha, pertanto, che:"),l(o.p,null,dl(z||(z=cl`b_{(i)} - a_{(i)} = \frac{b - a}{2^{i - 1}}`))),l("p",null,"Hanno quindi ",l("b",null,"convergenza lineare")," (",l(o.h,null,dl(v||(v=cl`C = \frac{1}{2}, p = 1`))),")."),l("p",null,"Il loro ",l("i",null,"criterio di arresto")," è un ",l("b",null,"numero di iterazioni prefissato")," che dipende dalla ",l("b",null,"tolleranza")," sull'errore:"),l(o.p,null,dl(x||(x=cl`i \geq \log_2 \left( \frac{b - a}{\tau} \right)`))),l(a.a,null,"Dividi l'intervallo ",l(o.h,null,dl(q||(q=cl`[a, b]`)))," in tante parti grandi quanto la tolleranza. L'algoritmo di bisezione ne escluderà metà ad ogni iterazione; la tolleranza sarà raggiunta quando rimarrà una parte sola!"))),l(o.r,null,l(o.q,{title:"Metodo di bisezione"},l("ol",null,l("li",null,"Finchè non sono state compiute il numero di iterazioni prefissate:",l("ol",null,l("li",null,"Calcoliamo il ",l("b",null,"punto medio")," dell'intervallo ",l(o.h,null,dl(k||(k=cl`[a_{(n)}, b_{(n)}]`))),":",l(o.p,null,dl(L||(L=cl`c_{(n)} = a_{(n)} + \frac{b_{(n)} - a_{(n)}}{2}`)))),l("li",null,"Dividiamo l'intervallo in due parti, separate da ",l(o.h,null,dl(A||(A=cl`c_{(n)}`))),":",l("ul",null,l("li",null,l(o.h,null,dl(O||(O=cl`[a_{(n)}, c_{(n)}]`)))," è la ",l("b",null,"metà")," sinistra"),l("li",null,l(o.h,null,dl(C||(C=cl`[c_{(n)}, b_{(n)}]`)))," è la ",l("b",null,"metà")," destra"))),l("li",null,"Teniamo l'intervallo in cui i valori della funzione ai due estremi sono discordi, e rinominiamolo in ",l(o.h,null,dl(S||(S=cl`[a_{(n+1)}, b_{(n+1)}]`))),"."))))),l(o.q,{title:"Metodo regula falsi"},l("ol",null,l("li",null,"Finchè non sono state compiute il numero di iterazioni prefissate:",l("ol",null,l("li",null,"Calcoliamo l'",l("b",null,"intersezione")," tra la ",l("b",null,"retta che congiunge i due estremi")," ",l(o.h,null,dl(M||(M=cl`a_{(n)}, b_{(n)}`)))," e l'",l("b",null,"asse X"),":",l(o.p,null,dl(w||(w=cl`c_{(n)} = b_{(n)} - \frac{f(b_{(n)})}{\frac{f(b_{(n)}) - f(a_{(n)})}{b_{(n)} - a_{(n)}}}`)))),l("li",null,"Dividiamo l'intervallo in due parti, separate da ",l(o.h,null,dl(I||(I=cl`c_{(n)}`))),":",l("ul",null,l("li",null,l(o.h,null,dl(y||(y=cl`[a_{(n)}, c_{(n)}]`)))," è la parte sinistra"),l("li",null,l(o.h,null,dl(E||(E=cl`[c_{(n)}, b_{(n)}]`)))," è la parte destra"))),l("li",null,"Teniamo l'intervallo in cui i valori della funzione ai due estremi sono discordi, e rinominiamolo in ",l(o.h,null,dl(F||(F=cl`[a_{(n+1)}, b_{(n+1)}]`))),".")))))),l(o.r,{title:"Metodo delle approssimazioni successive"},l(o.q,{title:"Metodi delle approssimazioni successive"},l("p",null,"Sono ",l("b",null,"metodi iterativi")," che funzionano in modo molto simile ai metodi iterativi per i sistemi lineari, utilizzando una funzione ",l(o.h,null,dl(T||(T=cl`\phi`))),' come "metodo".'),l(o.p,null,dl(U||(U=cl`x = x - \phi(x) \cdot f(x)`))),l("p",null,"Che diventa:"),l(o.p,null,dl(D||(D=cl`x_{(k+1)} = g( x_{(k)} )`))),l("p",null,"Sfruttano i ",l("b",null,"punti fissi")," ",l(o.h,null,dl(N||(N=cl`g(x_{(\star)}) = x_{(\star)}`)))," della funzione ",l(o.h,null,dl(P||(P=cl`f`)))," per convergere:",l("br",null),"se ",l(o.h,null,dl(R||(R=cl`\phi(x)`)))," non ha zeri, allora i punti fissi ",l("b",null,"coincideranno")," con gli ",l("b",null,"zeri")," della funzione ",l(o.h,null,dl(G||(G=cl`f`))),"."),l(o.p,null,dl(Q||(Q=cl`g(x) = x - \phi(x) \cdot f(x)`))),l("p",null,"Si può raggiungere iterativamente ad un punto fisso attraverso la formula:"),l(o.p,null,dl(j||(j=cl`x_{(k+1)} = g( x_{(k)} )`))),l("p",null,"Non si conosce in anticipo il numero di iterazioni necessarie per soddisfare la tolleranza ",l(o.h,null,dl(H||(H=cl`\tau`))),"; ad ogni iterazione, si controlla se la tolleranza è soddisfatta:"),l("ul",null,l("li",null,"Nella differenza tra due iterate: ",l(o.h,null,dl(Y||(Y=cl`\frac{\left| x_{(k+1)} - x_{(k)} \right|}{\left| x_{(k+1)} \right|} \leq \tau`)))),l("li",null,"Nel ",l("i",null,"residuo")," del problema: ",l(o.h,null,dl(J||(J=cl`\left| f(x_{(k)}) \right| \leq \tau`)))))),l(o.q,{title:"Teorema della mappa contrattiva"},l("p",null,"Se:"),l("ul",null,l("li",null,"Tutti i valori restituiti dalla funzione ",l(o.h,null,dl(V||(V=cl`g`)))," rientrano nel suo stesso dominio:",l(o.p,null,dl(X||(X=cl`g : [a, b] \to [a, b]`)))),l("li",null,l("p",null,"La funzione ",l(o.h,null,dl(B||(B=cl`g`)))," è una contrazione, ovvero restringe l'intervallo ",l(o.h,null,dl(Z||(Z=cl`[a, b]`))),":"),l(o.p,null,dl(K||(K=cl`\forall (x, y) \in [a, b], | g(x) - g(y) | \leq L \cdot | x - y |`))),l("p",null,"(dove ",l(o.h,null,dl(W||(W=cl`0 < L < 1`))),")"))),l("p",null,"Allora:"),l("ul",null,l("li",null,l("p",null,"Il punto fisso esiste ed è unico:"),l(o.p,null,dl($||($=cl`\exists! x_{(\star)}`)))),l("li",null,"Il metodo delle approssimazioni successive converge per qualsiasi punto di partenza."),l("li",null,l("p",null,"Vale la seguente disequazione di ",l("i",null,"maggiorazione dell'errore"),":"),l(o.p,null,dl(ll||(ll=cl`\left| x_{(k)} - x_{(\star)} \right| \leq \frac{ L^k }{ 1 - L } \cdot \left| x_{(1)} - x_{(0)} \right|`))))),l("p",null,"Più è piccolo ",l(o.h,null,"L"),", più il metodo convergerà in fretta."),l(a.a,null,l(o.h,null,"L")," è molto simile al raggio spettrale ",l(o.h,null,dl(nl||(nl=cl`\rho(M)`)))," dei metodi iterativi per i sistemi lineari!"))),l(o.r,null,l(o.q,{title:"Metodo di Newton"},l("p",null,"Sfrutta la ",l("b",null,"continuità")," delle funzioni per ottenere una convergenza di ordine più alto."),l(o.p,null,dl(il||(il=cl`\phi (x) = \frac{1}{f' (x)}`))),l(o.p,null,dl(el||(el=cl`x_{(k+1)} = x_{(k)} - \frac{ f(x_{(k)}) }{ f'(x_{(k)}) }`))),l(a.a,null,"Geometricamente, corrisponde a prolungare una retta nel punto ",l(o.h,null,dl(ol||(ol=cl`(x_{(k)}, f(x_{(k)}))`)))," con pendenza ",l(o.h,null,dl(al||(al=cl`f'(x_{(k)})`))),", e prendendo come nuovo punto la sua intersezione con l'asse X e la sua corrispettiva immagine nella funzione."),l("p",null,"Ha costo computazionale di ",l("b",null,"2 valutazioni di funzione")," più ",l("b",null,"2 valutazioni di derivata"),"."),l("p",null,"Ha ",l("b",null,"convergenza quadratica"),".")),l(o.q,{title:"Metodo delle secanti"},l("p",null,"È come il metodo di Newton, ma usa il ",l("b",null,"rapporto incrementale"),", in modo da poter essere applicato a funzioni non continue."),l(o.p,null,dl(tl||(tl=cl`\phi (x) = \frac{ 1 }{ \frac{ f(x_{(k)}) - f(x_{(k-1)}) }{ x_{(k)} - x_{(k-1)} } }`))),l(o.p,null,dl(ul||(ul=cl`x_{(k+1)} = x_{(k)} - \frac{ f(x_{(k)}) }{ \frac{ f(x_{(k)}) - f(x_{(k-1)}) }{ x_{(k)} - x_{(k-1)} } }`))),l(a.a,null,"Geometricamente, corrisponde a costruire una retta che attraversa i punti ",l(o.h,null,dl(rl||(rl=cl`(x_{(k)}, f(x_{(k)}))`)))," e ",l(o.h,null,dl(sl||(sl=cl`(x_{(k-1)}, f(x_{(k-1)}))`))),", e prendendo come nuovo punto la sua intersezione con l'asse X e la sua corrispettiva immagine nella funzione."),l("p",null,"Ha costo computazionale di ",l("b",null,"3 valutazioni di funzione"),"."),l("p",null,"Ha ",l("b",null,"convergenza superlineare"),"."))),l(o.r,null,l(o.q,{title:"Approssimare sistemi non-lineari"},l("p",null,"È possibile usare questi metodi per ",l("b",null,"approssimare le soluzioni di sistemi non-lineari"),"."))))}}).call(this,i("hosL").h)},"T/To":function(){},T2GU:function(l,n,i){"use strict";(function(l){var e=i("5aVd"),o=i.n(e);n.a=function(n){return l("ul",{class:o.a.menulist},n.children)}}).call(this,i("hosL").h)},"h/TB":function(){},ke5e:function(l,n,i){"use strict";(function(l){var e=i("2w3n"),o=i.n(e);n.a=function(n){return l("div",{class:o.a.example},n.children)}}).call(this,i("hosL").h)},lijF:function(l,n,i){"use strict";(function(l){i("zLC0");var e=i("mbOI"),o=i("YNhk"),a=i("ke5e"),t=i("hosL");let u,r,s,c,d,p,m,f,h,g,b,_,z,v,x,q,k,L,A,O,C,S,M,w,I,y,E,F,T,U,D,N,P,R,G,Q,j,H,Y,J,V,X,B,Z,K,W,$,ll,nl,il,el,ol,al,tl,ul,rl,sl,cl,dl,pl,ml,fl,hl,gl,bl,_l=l=>l;const zl=String.raw;n.a=function(){return l(t.Fragment,null,l(e.r,{title:"Problema: Risoluzione di sistemi lineari"},l(e.q,{title:"Descrizione"},l(e.u,null,"TODO")),l(e.q,{title:"Condizionamento"},l("p",null,"Il condizionamento della risoluzione di sistemi lineari è:"),l(e.p,null,zl(u||(u=_l`\frac{{\color{yellow} \|A\| \cdot \|A^{-1}\|} \cdot \| \Delta b \|}{\| b \|}`))),l("p",null,"In particolare, è segnato in giallo nella formula il ",l("b",null,"numero di condizionamento"),":"),l(e.p,null,zl(r||(r=_l`k(A) = \| A \| \cdot \| A^{-1} \|`))))),l(e.r,null,l(e.q,{title:"Metodi diretti"},l("p",null,"Metodi che trovano la soluzione esatta",l("abbr",{title:"Per quanto possibile nell'algebra di macchina."},"*")," di un sistema lineare."),l("p",null,"Tipicamente prevedono la ",l("b",null,"fattorizzazione")," della matrice dei coefficienti in due sottomatrici più facili da risolvere."),l("p",null,"Generalmente hanno una complessità temporale ",l(e.h,null,zl(s||(s=_l`O(n^3)`))),".")),l(e.q,{title:"Metodi iterativi"},l("p",null,"Metodi che trovano una soluzione imperfetta",l("abbr",{title:"Che però può essere la migliore ottenibile, considerando la precisione di macchina."},"*")," di un sistema lineare."),l("p",null,"Tipicamente prevedono l'applicazione ripetuta di un ",l("b",null,"metodo"),", in base al quale cambia la ",l("b",null,"velocità di convergenza")," alla soluzione."),l("p",null,"Generalmente hanno una complessità temporale ",l(e.h,null,zl(c||(c=_l`O(n^2)`))),"."))),l(e.r,{title:"Metodi diretti"},l(e.q,{title:"Divisione"},l("p",null,"Se la matrice dei coefficienti del sistema è ",l("b",null,"diagonale"),", allora è possibile trovare la soluzione ",l("i",null,"dividendo")," ogni termine noto per l'unico coefficiente diverso da zero presente nella sua riga:"),l(e.p,null,zl(d||(d=_l`x_i = \frac{b_i}{A_{ii}}`)))),l(e.q,{title:"Sostituzione"},l("p",null,"Se la matrice dei coefficienti del sistema è ",l("b",null,"triangolare")," inferiore o superiore, allora è possibile trovare la soluzione effettuando una ",l("i",null,"sostituzione")," all'avanti oppure all'indietro:"),l(e.p,null,zl(p||(p=_l`x_i = \frac{b_i - \sum_{k = 1}^{i - 1} (x_k \cdot A_{ik})}{A_{ii}}`))),l(e.p,null,zl(m||(m=_l`x_i = \frac{b_i - \sum_{k = i - 1}^{n} (x_k \cdot A_{ik})}{A_{ii}}`))))),l(e.r,null,l(e.q,{title:l("span",null,"Fattorizzazione ",l(e.h,null,zl(f||(f=_l`LU`))))},l("p",null,"Se la matrice dei coefficienti del sistema ",l("b",null,"non ha ",l(o.a,{href:"https://it.wikipedia.org/wiki/Minore_(algebra_lineare)"},"minori")," uguali a 0 ",l("small",null,"(eccetto l'ultimo)"))," allora è possibile ",l("i",null,"fattorizzarla")," in due matrici: una ",l(e.h,null,zl(h||(h=_l`L`)))," triangolare inferiore, e una ",l(e.h,null,zl(g||(g=_l`U`)))," triangolare superiore."),l(e.p,null,zl(b||(b=_l`A = L \cdot U`))),l(a.a,null,"Abbiamo fatto questo metodo in Algebra Lineare, chiamandolo ",l("b",null,"metodo di Gauss"),"."),l("p",null,"La matrice ",l(e.h,null,zl(_||(_=_l`L`)))," è così composta:"),l(e.p,null,zl(z||(z=_l`
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\begin{cases}
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L_{ii} = 1 \qquad \qquad (diagonale)\\
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L_{ik} = -\frac{A_{ik}}{A_{kk}} \qquad (tri.\ infer.)
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\end{cases}
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`))),l(a.a,null,"Sono i moltiplicatori usati per rendere annullare il triangolo inferiore!"),l("p",null,"La matrice ",l(e.h,null,zl(v||(v=_l`U`)))," è così composta:"),l(e.p,null,zl(x||(x=_l`
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\begin{cases}
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U_{ik} = A_{ik} \quad se\ i \leq k \quad (tri.\ super.)\\
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U_{ik} = 0 \qquad se\ i > k \quad (tri.\ infer.)
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\end{cases}
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`))),l("p",null,"Il sistema può essere poi risolto applicando due volte il metodo di sostituzione:"),l(e.p,null,zl(q||(q=_l`
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\begin{cases}
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L \cdot y = b\\
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U \cdot x = y
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\end{cases}
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`))),l("p",null,"Questo metodo ha costo computazionale:"),l(e.p,null,zl(k||(k=_l`{\color{Yellow} O\left(\frac{n^3}{3}\right)} + 2 \cdot O\left(\frac{n^2}{2}\right)`)))),l(e.q,{title:l("span",null,"Fattorizzazione ",l(e.h,null,zl(L||(L=_l`LU`)))," con pivoting parziale")},l("p",null,"È possibile applicare la fattorizzazione ",l(e.h,null,zl(A||(A=_l`LU`)))," a ",l("b",null,"qualsiasi matrice non-singolare")," permettendo lo scambio (",l("i",null,"pivoting"),") delle righe, potenzialmente ",l("b",null,"aumentando la stabilità")," dell'algoritmo."),l(a.a,null,"Abbiamo fatto questo metodo in Algebra Lineare, chiamandolo ",l("b",null,"metodo di Gauss-Jordan"),"!"),l("p",null,"Alla formula precedente si aggiunge una ",l(o.a,{href:"https://it.wikipedia.org/wiki/Matrice_di_permutazione"},"matrice di permutazione")," che indica quali righe sono state scambiate:"),l(e.p,null,zl(O||(O=_l`P \cdot A = L \cdot U`))),l("p",null,"Questo metodo ha costo computazionale:"),l(e.p,null,zl(C||(C=_l`{\color{Yellow} O\left(\frac{n^2}{2}\right)} + O\left(\frac{n^3}{3}\right) + 2 \cdot O\left(\frac{n^2}{2}\right)`)))),l(e.q,{title:l("span",null,"Fattorizzazione ",l(e.h,null,zl(S||(S=_l`LU`)))," con pivoting totale")},l("p",null,"È possibile anche permettere il ",l("i",null,"pivoting")," ",l("b",null,"sulle colonne")," per ",l("b",null,"aumentare ulteriormente la stabilità")," dell'algoritmo, a costo di maggiore costo computazionale:"),l(e.p,null,zl(M||(M=_l`P \cdot A \cdot Q = L \cdot U`))),l("p",null,"Questo metodo ha costo computazionale:"),l(e.p,null,zl(w||(w=_l`{\color{Yellow} O\left(\frac{n^3}{3}\right)} + O\left(\frac{n^3}{3}\right) + 2 \cdot O\left(\frac{n^2}{2}\right)`))))),l(e.r,null,l(e.q,{title:l("span",null,"Fattorizzazione ",l(e.h,null,zl(I||(I=_l`LDL^{-1}`))))},l("p",null,"È possibile ",l("b",null,"ridurre la complessità computazionale")," della fattorizzazione ",l(e.h,null,zl(y||(y=_l`LU`)))," se la matrice dei coefficienti è ",l("b",null,"simmetrica"),":"),l(e.p,null,zl(E||(E=_l`A = L \cdot D \cdot L^{-1}`))),l("p",null,"In questo caso, si calcola solo la matrice L, utilizzando il ",l("b",null,"metodo di pavimentazione"),"."),l(e.p,null,zl(F||(F=_l`
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\begin{cases}
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d_{ii} = A_{ii} - \sum_{k=1}^{i-1} ( d_{kk} \cdot (l_{jk})^2 )\\
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\\
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l_{ij} = \frac{A_{ij} - \sum_{k=1}^{j-1} l_{ik} \cdot d_{kk} \cdot l_{jk}}{d_{ii}}
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\end{cases}
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`))),l(a.a,null,l("p",null,"La prima colonna della matrice sarà:"),l(e.p,null,zl(T||(T=_l`
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\begin{cases}
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d_{11} = A_{11}\\
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\\
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|
l_{i1} = \frac{A_{i1}}{d_{11}}
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\end{cases}
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`))),l("p",null,"La seconda colonna della matrice sarà:"),l(e.p,null,zl(U||(U=_l`
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\begin{cases}
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d_{22} = A_{22} - d_{11} \cdot (l_{21})^2\\
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\\
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l_{i2} = \frac{A_{i2} - l_{i1} \cdot d_{11} \cdot l_{21}}{d_{ii}}
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\end{cases}
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`)))),l("p",null,"Questo metodo ha costo computazionale:"),l(e.p,null,zl(D||(D=_l`{\color{Yellow} O\left(\frac{n^3}{6}\right)} + O\left(\frac{n^3}{3}\right) + 2 \cdot O\left(\frac{n^2}{2}\right)`)))),l(e.q,{title:l("span",null,"Fattorizzazione ",l(e.h,null,zl(N||(N=_l`\mathcal{L} \mathcal{L}^{-1}`))))},l("p",null,"È possibile dare ",l("b",null,"stabilità forte")," alla fattorizzazione ",l(e.h,null,zl(P||(P=_l`LDL^{-1}`)))," se la matrice dei coefficienti è ",l("b",null,"simmetrica definita positiva"),":"),l(e.p,null,zl(R||(R=_l`A = \mathcal{L} \cdot \mathcal{L}^{-1}`))),l("p",null,"Il ",l("b",null,"metodo di pavimentazione")," diventa:"),l(e.p,null,zl(G||(G=_l`
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\begin{cases}
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l_{ii} = \sqrt{A_{ii} - \sum_{k=1}^{i-1} (l_{ik})^2 }\\
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\\
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l_{ij} = \frac{A_{ij} - \sum_{k=1}^{j-1} l_{ik} \cdot l_{jk}}{l_{ii}}
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\end{cases}
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`))),l("p",null,"Questo metodo ha costo computazionale:"),l(e.p,null,zl(Q||(Q=_l`O\left(\frac{n^3}{3}\right) + O\left(\frac{n^3}{3}\right) + 2 \cdot O\left(\frac{n^2}{2}\right)`))))),l(e.r,null,l(e.q,{title:"Trasformazione di Householder"},l("p",null,"Matrice ricavata dalla seguente formula:"),l(e.p,null,zl(j||(j=_l`U(v) = I - \frac{1}{\alpha} \cdot v \cdot v^T`))),l(e.p,null,zl(H||(H=_l`\alpha = \frac{1}{2} \| v \|_{(2)}^2`)))),l(e.q,{title:l("span",null,"Fattorizzazione ",l(e.h,null,zl(Y||(Y=_l`QR`))))},l("p",null,"Metodo che fornisce una ",l("b",null,"maggiore stabilità")," a costo di una ",l("b",null,"maggiore complessità computazionale"),"."),l("p",null,"La matrice ",l(e.h,null,zl(J||(J=_l`A`)))," viene ",l("i",null,"fattorizzata")," in due matrici, una ",l("b",null,"ortogonale")," ",l(e.h,null,zl(V||(V=_l`Q`)))," e una ",l("b",null,"triangolare superiore")," ",l(e.h,null,zl(X||(X=_l`R`))),":"),l(e.p,null,zl(B||(B=_l`A = Q \cdot R`))),l("p",null,"Le matrici si ottengono dal prodotto delle trasformazioni di Householder (",l(e.h,null,zl(Z||(Z=_l`Q`)))," sulle colonne della matrice ",l(e.h,null,zl(K||(K=_l`A`))),", trasformandola in una matrice triangolare superiore (",l(e.h,null,zl(W||(W=_l`R`))),")."),l("p",null,"Una volta fattorizzata, il sistema si può risolvere con:"),l(e.p,null,zl($||($=_l`
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\begin{cases}
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y = Q^T \cdot b\\
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|
R \cdot x = y
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\end{cases}
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`))),l("p",null,"Questo metodo ha costo computazionale:"),l(e.p,null,zl(ll||(ll=_l`{\color{Yellow} O\left(\frac{2 \cdot n^3}{3}\right)} + 2 \cdot O\left(\frac{n^2}{2}\right)`))),l("p",null,l(e.u,null,"TODO: l'algoritmo con tau per ricavare la q se non è in memoria")))),l(e.r,{title:"Metodi iterativi"},l(e.q,{title:"Forma generale"},l("p",null,"Se si pone che:"),l(e.p,null,zl(nl||(nl=_l`
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\begin{cases}
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G = I - M^{-1} \cdot A\\
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|
c = M^{-1} \cdot b
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\end{cases}
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`))),l("p",null,"Allora la formula generale di un sistema lineare può anche essere scritta in questo modo:"),l(e.p,null,zl(il||(il=_l`x = G \cdot x + c`))),l("p",null,"È particolarmente utile perchè ci permette di definire un ",l("b",null,"algoritmo ricorsivo")," che trovi ",l(e.h,null,zl(el||(el=_l`x`))),":"),l(e.p,null,zl(ol||(ol=_l`x_{(i+1)} = G \cdot x_{(i)} + c`))),l("p",null,l(e.h,null,zl(al||(al=_l`G`)))," è il ",l("b",null,"metodo"),", e in base ad esso cambiano stabilità e velocità di convergenza."),l("p",null,"Ponendo ",l(e.h,null,zl(tl||(tl=_l`A = M - N`))),", la formula può essere scritta anche in questo modo:"),l(e.p,null,zl(ul||(ul=_l`M \cdot x_{(i+1)} = N \cdot x_{(i)} + b`))),l("p",null,"Possiamo ottenere alcuni metodi separando ",l(e.h,null,"A")," in tre matrici:"),l("ul",null,l("li",null,"La parte diagonale ",l(e.h,null,zl(rl||(rl=_l`D`)))),l("li",null,"L'opposto del triangolo inferiore ",l(e.h,null,zl(sl||(sl=_l`E`)))),l("li",null,"L'opposto del triangolo superiore ",l(e.h,null,zl(cl||(cl=_l`F`))))),l(e.p,null,zl(dl||(dl=_l`A = D - E - F`)))),l(e.q,{title:"Convergenza di un metodo"},l("p",null,"Un metodo è convergente se e solo se:"),l(e.p,null,zl(pl||(pl=_l`\rho (M) < 1`))),l("p",null,"(dove ",l(e.h,null,zl(ml||(ml=_l`\rho`)))," è il ",l("b",null,"raggio spettrale"),", il massimo autovalore della matrice)"),l("p",null,"Perchè un metodo sia convergente, è sufficiente che:"),l(e.p,null,zl(fl||(fl=_l`\| M \| < 1`))),l("p",null,l(e.u,null,"TODO: l'algoritmo con tau per le condizioni di arresto")))),l(e.r,null,l(e.q,{title:"Metodo di Jacobi"},l("p",null,"Il metodo di Jacobi si ottiene ponendo:"),l(e.p,null,zl(hl||(hl=_l`
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\begin{cases}
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M = D\\
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N = E + F
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\end{cases}
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`))),l("p",null,l("u",null,"Spostamenti simultanei"),": Permette di ottenere ogni componente di ",l(e.h,null,zl(gl||(gl=_l`x`)))," indipendentemente dagli altri: è ",l("b",null,"parallelizzabile"),"."),l("p",null,"Se la matrice è ",l("b",null,"diagonale dominante"),", allora il metodo di Jacobi ",l("b",null,"converge")," sicuramente.")),l(e.q,{title:"Metodo di Gauss-Seidel"},l("p",null,"Il metodo di Gauss-Seidel si ottiene ponendo:"),l(e.p,null,zl(bl||(bl=_l`
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\begin{cases}
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M = D - E\\
|
|
N = F
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\end{cases}
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`))),l("p",null,"Ha una velocità di convergenza ",l("b",null,"maggiore o uguale")," rispetto al metodo di Jacobi."),l("p",null,l("u",null,"Spostamenti successivi"),": Non è parallelizzabile, perchè ogni componente ",l("b",null,"dipende da quelle calcolate in precedenza"),"."),l("p",null,"Se la matrice è ",l("b",null,"diagonale dominante"),", allora il metodo di Gauss-Seidel ",l("b",null,"converge")," sicuramente."))))}}).call(this,i("hosL").h)},qXt2:function(l,n,i){"use strict";i.r(n),function(l){i("mbOI"),i("ke5e"),i("YNhk"),i("T2GU");var e=i("sl5E"),o=i("lijF"),a=i("FEtp"),t=i("31Ft");n.default=function(){return l("div",null,l("h1",null,"Calcolo Numerico"),l(e.a,null),l(o.a,null),l(a.a,null),l(t.a,null))}}.call(this,i("hosL").h)},sl5E:function(l,n,i){"use strict";(function(l){i("T/To");var e=i("mbOI"),o=i("YNhk"),a=i("T2GU"),t=i("ke5e"),u=i("hosL");let r,s,c,d,p,m,f,h,g,b,_,z,v,x,q,k,L,A,O,C,S,M=l=>l;const w=String.raw;n.a=function(){return l(u.Fragment,null,l(e.r,{title:"Esame"},l(e.q,{title:"Contatti"},l("ul",null,l("li",null,l(o.a,{href:"mailto:silvia.bonettini@unimore.it"},"Prof.ssa Silvia Bonettini")))),l(e.q,{title:"Orale"},l("p",null,"E' composto da:"),l("ul",null,l("li",null,"2 domande sugli argomenti teorici"),l("li",null,"1 domanda di implementazione algoritmo in MATLAB"))),l(e.q,{title:"Sessione autunnale"},l("ol",null,l("li",null,l(e.t,{to:"2020-08-31 09:00"})),l("li",null,l(e.t,{to:"2020-09-14 09:00"}))))),l(e.r,{title:"Informazioni"},l(e.q,{title:"Ripasso di Algebra Lineare"},l("p",null,"Prima di iniziare a studiare Calcolo Numerico, potrebbe essere una buona idea ripassare un pochino Algebra Lineare:"),l(a.a,null,l("li",null,l("a",{href:"/calcolonumerico/ripassodialgebralineare"},"Ripasso di Algebra Lineare")," ",l("small",null,"(per studenti sperduti di Calcolo Numerico)"))))),l(e.r,{title:"Algoritmi"},l(e.q,{title:"Algoritmi numerici"},l("p",null,"Particolari algoritmi che hanno:"),l("ul",null,l("li",null,"numeri reali in input e output"),l("li",null,"successioni delle quattro operazioni aritmetiche fondamentali come passi")))),l(e.r,{title:"Errore di rappresentazione"},l(e.q,{title:"Cos'è?"},l("p",null,"Con i numeri floating point può capitare che un certo numero ",l(e.h,null,w(r||(r=M`\alpha`)))," non sia rappresentato correttamente."),l("p",null,"In tal caso, il numero si indica con ",l(e.h,null,w(s||(s=M`\alpha^*`))),"."))),l(e.r,null,l(e.q,{title:"Errore assoluto"},l("p",null,"È la differenza tra il numero desiderato e il numero rappresentato:"),l(e.p,null,w(c||(c=M`E_a = \left | \alpha - \alpha^* \right |`)))),l(e.q,{title:"Errore relativo"},l("p",null,"Indica quanto il numero rappresentato differisce dal numero desiderato:"),l(e.p,null,w(d||(d=M`\forall \alpha \neq 0, E_r = \frac{E_a}{\left | \alpha \right |}`))))),l(e.r,null,l(e.q,{title:"Troncamento"},l("p",null,"Metodo con cui gestire gli ",l("b",null,"underflow floating point"),": le cifre meno significative vengono ",l("b",null,"rimosse"),"."),l(t.a,null,l("pre",null,"1.00 → 1.0",l("br",null),"1.01 → 1.0",l("br",null),"1.10 → 1.1",l("br",null),"1.11 → 1.1"))),l(e.q,{title:"Arrotondamento"},l("p",null,"Metodo con cui gestire gli ",l("b",null,"underflow floating point"),": se la cifra più significativa di quelle che devono essere rimosse è 1, allora ",l("b",null,"aumenta di 1")," anche quella meno signficativa che viene tenuta."),l(t.a,null,l("pre",null,"1.00 → 1.0",l("br",null),"1.01 → 1.0",l("br",null),"1.10 → 1.1",l("br",null),"1.11 → 10.")))),l(e.r,null,l(e.q,{title:"Precisione di macchina"},l("p",null,"Un numero reale rappresentato in ",l("b",null,"virgola mobile")," ha un ",l("b",null,"errore relativo")," minore o uguale alla ",l("i",null,"precisione di macchina"),":"),l("p",null,l(e.h,null,w(p||(p=M`E_r \leq k \cdot \beta^{1-t}`)))),l("ul",null,l("li",null,l(e.h,null,"\\beta")," è uguale alla base utilizzata (solitamente 2)."),l("li",null,l(e.h,null,"t")," è uguale al numero di cifre della mantissa."),l("li",null,l(e.h,null,"k")," è uguale a ",l(e.h,null,"1")," se il numero viene rappresentato per troncamento oppure a ",l(e.h,null,w(m||(m=M`\frac{1}{2}`)))," se viene rappresentato per arrotondamento."))),l(e.q,{title:"La funzione fl"},l("p",null,"Associa un valore reale al suo ",l("b",null,"corrispondente valore floating point"),", utilizzando uno dei due metodi di gestione dell'undeflow."),l(e.p,null,w(f||(f=M`fl(x) = (x)(1 + \epsilon_x)`))),l(t.a,null,"Indica che un valore è soggetto alla precisione di macchina.",l(e.p,null,w(h||(h=M`fl(1.11) = 1.1`)))))),l(e.r,null,l(e.q,{title:"Un nuovo insieme"},l("p",null,"L'insieme ",l(e.h,null,w(g||(g=M`\mathbb{F}`)))," è il sottoinsieme dei numeri reali rappresentabili in floating point dalla macchina che stiamo usando."),l("p",null,"Operazioni tra elementi di ",l(e.h,null,w(b||(b=M`\mathbb{F}`)))," producono risultati in ",l(e.h,null,w(_||(_=M`\mathbb{R}`))),", che però decaderanno nuovamente a elementi di ",l(e.h,null,w(z||(z=M`\mathbb{F}`))),", perdendo informazioni."),l("p",null,"Il teorema della precisione di macchina si applica quindi anche ai risultati delle operazioni.")),l(e.q,{title:"Caratteristiche delle operazioni di macchina"},l("ul",null,l("li",null,"Hanno ",l("b",null,"più elementi neutri"),"."),l("li",null,"Un numero ha ",l("b",null,"più opposti"),"."),l("li",null,l("b",null,"Non")," sono associative."),l("li",null,l("b",null,"Non")," sono distributive."),l("li",null,l("b",null,"Non")," vale la legge di annullamento del prodotto.")))),l(e.r,{title:"Errori nelle operazioni di macchina"},l(e.q,{title:"Errore inerente"},l("p",null,"Errore derivato da underflow sui ",l("b",null,"dati"),"."),l("p",null,"Si indica con ",l(e.h,null,w(v||(v=M`\epsilon_{nome\_var}`))),"."),l(t.a,null,"L'errore sulla variabile ",l(e.h,null,"x")," si indica con ",l(e.h,null,w(x||(x=M`\epsilon_{x}`))),".")),l(e.q,{title:"Errore algoritmico"},l("p",null,"Errore derivato da underflow durante l'",l("b",null,"esecuzione dell'algoritmo"),"."),l("p",null,"Si indica con ",l(e.h,null,w(q||(q=M`\epsilon_{num\_passo}`))),"."),l(t.a,null,"L'errore al primo passo dell'algoritmo si indica con ",l(e.h,null,w(k||(k=M`\epsilon_{1}`))),"."))),l(e.r,null,l(e.q,{title:"Condizionamento"},l("p",null,"Sensibilità di un problema all'",l("b",null,"errore inerente"),"."),l(t.a,null,l(e.h,null,w(L||(L=M`y = \frac{1}{x}`)))," è mal condizionato intorno allo 0 e ben condizionato lontano dallo 0.")),l(e.q,{title:"Stabilità"},l("p",null,"Sensibilità di un problema all'",l("b",null,"errore algoritmico"),"."),l(t.a,null,l("p",null,"Cerchiamo un algoritmo che risolva ",l(e.h,null,w(A||(A=M`2x^* = 4`))),"."),l("p",null,"Calcolare prima ",l(e.h,null,w(O||(O=M`t = fl \left( \frac{1}{4} \right)`)))," e poi ",l(e.h,null,w(C||(C=M`x = fl ( 2 \cdot t )`)))," porta a una perdita di precisione."),l("p",null,"Calcolare direttamente ",l(e.h,null,w(S||(S=M`x = fl \left( \frac{2}{4} \right)`)))," non ha alcuna perdita di precisione e rende l'algoritmo ",l("b",null,"più stabile")," del precedente.")))),l(e.r,null,l(e.q,{title:"Indice di condizionamento"},l("p",null,"È il coefficiente di proporzionalità tra i dati e l'",l("b",null,"errore inerente"),"."),l("p",null,"Essendo sempre maggiore di uno, si può dire che sia un coefficiente di amplificazione."),l("p",null,"Minore è l'indice di condizionamento, meglio condizionato è un problema.")),l(e.q,{title:"Indice algoritmico"},l("p",null,"È il coefficiente di proporzionalità tra i dati e l'",l("b",null,"errore algoritmico"),"."),l("p",null,"Essendo sempre maggiore di uno, si può dire che sia un coefficiente di amplificazione."))))}}).call(this,i("hosL").h)},zLC0:function(){}}]);
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