appunti-steffo/7 - Introduction to quantum information processing/2 - Gates/phase gate.md

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aliases:
  - S gate
  - square root of Z
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[[gate quantistico]] corrispondente alla radice quadrata del [[Pauli Z gate]]:
$$
\Huge
\sqrt{\mathbf{Z}} = \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & i
\end{bmatrix}
$$

## Effetto

Si comporta come mezzo [[Pauli Z gate]]:
$$
\sqrt{\mathbf{Z}} \ket{0} = \ket{0}
$$
$$
\sqrt{\mathbf{Z}} \ket{1} = i \cdot \ket{1}
$$$$
\sqrt{\mathbf{Z}}\ \sqrt{\mathbf{Z}} \ket{1} = \mathbf{Z} \ket{1}
$$
$$
\sqrt{\mathbf{Z}}
\begin{bmatrix}
	\alpha \\
	\beta
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
	\alpha \\
	i \cdot \beta
\end{bmatrix}
$$

## Visualizzazioni
### In un [[circuito quantistico]]

Un quadrato con una S sopra, o un quadrato con una radice quadrata di Z.

### Nella [[sfera di Bloch]]

Corrisponde a una [[rotazione]] di $\frac{\pi}{2}$ sull'[[asse Z]], quello dal basso all'alto.