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89b3a26aa7
GPG key ID:
5ADA3868646C3FC0
29 changed files with 908 additions and 37 deletions
8
0 - Generale/formula di Eulero.md
Normal file
8
0 - Generale/formula di Eulero.md
Normal file
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|
@ -0,0 +1,8 @@
|
|||
[[Formula]] che mette in relazione [[funzione trigonometrica|funzioni trigonometriche]] alla [[funzione esponenziale complessa]].
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\def \varX {{\color{yellow} x}}
|
||||
\def \varI {{\color{hotpink} i}}
|
||||
\Huge
|
||||
e^{\varI \varX} = \cos \varX + \varI \sin \varX
|
||||
$$
|
||||
22
0 - Generale/operatore aggiunto.md
Normal file
22
0 - Generale/operatore aggiunto.md
Normal file
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|
@ -0,0 +1,22 @@
|
|||
[[Operazione]] [[numero complesso|complessa]] [[matrice|matriciale]] che consiste nella combinazione dell'[[operatore coniugato]] e dell'[[operatore trasposto]].
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||||
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||||
$$
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||||
\huge \mathbf{M}^\dagger = \mathbf{M}'^{*}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
1 + {\color{hotpink}1i} & 1 + {\color{hotpink}2i} \\
|
||||
2 + {\color{hotpink}1i} & 2 + {\color{hotpink}2i}
|
||||
\end{bmatrix}^\dagger
|
||||
=
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
(1 + {\color{hotpink}1i})^* & (2 + {\color{hotpink}1i})^* \\
|
||||
(1 + {\color{hotpink}2i})^* & (2 + {\color{hotpink}2i})^*
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
=
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
1 - {\color{hotpink}1i} & 2 - {\color{hotpink}1i} \\
|
||||
1 - {\color{hotpink}2i} & 2 - {\color{hotpink}2i}
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
$$
|
||||
|
|
@ -91,3 +91,12 @@ $$
|
|||
\bra{11111111} = \bra{255}_8
|
||||
}
|
||||
$$
|
||||
Corrispondono all'[[operatore aggiunto]] applicato ad un [[ket]]:
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||||
$$
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||||
\Huge
|
||||
\bra{0} = \ket{0}^\dagger
|
||||
$$
|
||||
$$
|
||||
\Huge
|
||||
\ket{0} = \bra{0}^\dagger
|
||||
$$
|
||||
|
|
@ -0,0 +1,15 @@
|
|||
[[Operazione]] che restitusce il coefficiente dello stato $\ket{1}$ di un dato [[qbit]].
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\Huge
|
||||
\mathbf{\dot{n}}_0
|
||||
=
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
0 & 0 \\
|
||||
0 & 1
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
=
|
||||
1 -
|
||||
\ket{0}
|
||||
\bra{0}
|
||||
$$
|
||||
|
|
@ -0,0 +1,14 @@
|
|||
[[Operazione]] che restitusce il coefficiente dello stato $\ket{0}$ di un dato [[qbit]].
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\Huge
|
||||
\mathbf{n}_0
|
||||
=
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
1 & 0 \\
|
||||
0 & 0
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
=
|
||||
\ket{0}
|
||||
\bra{0}
|
||||
$$
|
||||
|
|
@ -4,6 +4,7 @@ aliases:
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|||
- qubit
|
||||
- stato di un qbit
|
||||
- fase di un qbit
|
||||
- stato
|
||||
---
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||||
[[Valore]] di un sistema quantistico che può trovarsi contemporaneamente in due [[stato di un qbit|stati]] con intensità complementari tra loro.
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||||
|
||||
|
|
|
|||
|
|
@ -0,0 +1,8 @@
|
|||
Generalizzazione della [[regola di Born]] a più [[qbit]].
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||||
|
||||
$$
|
||||
\mathrm{measure}\ \ket{x} \rightarrow
|
||||
\begin{cases}
|
||||
\Psi & il\braket{x | \Psi}\ delle\ volte
|
||||
\end{cases}
|
||||
$$
|
||||
|
|
@ -0,0 +1,21 @@
|
|||
Quando un [[qbit]] si trova in uno stato con massima intensità, si dice che esso si trova in uno stato base:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\Large
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
1\\
|
||||
0
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
\qquad
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
0\\
|
||||
1
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Gli stati base solitamente vengono rappresentati con un [[ket]] dedicato:
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||||
|
||||
$$
|
||||
\LARGE
|
||||
\ket{0} \qquad \ket{1}
|
||||
$$
|
||||
|
|
@ -1,16 +0,0 @@
|
|||
Quando un [[qbit]] si trova in uno [[stato di un qbit|stato]] con massima intensità, si dice che esso si trova in uno stato base:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\Huge
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
1\\
|
||||
0
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
\qquad
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
0\\
|
||||
1
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Si trovano rappresentati spesso in notazione [[ket]].
|
||||
|
|
@ -3,28 +3,37 @@
|
|||
{"id":"bf8486f1d14fd86c","type":"file","file":"7 - Introduction to quantum information processing/1 - Concetti base/bit.md","x":-620,"y":-260,"width":400,"height":400},
|
||||
{"id":"e4fea56f5f076093","type":"file","file":"7 - Introduction to quantum information processing/1 - Concetti base/qbit.md","x":-60,"y":-260,"width":400,"height":400},
|
||||
{"id":"93c57c42392b8135","type":"file","file":"7 - Introduction to quantum information processing/1 - Concetti base/ket.md","x":500,"y":300,"width":400,"height":400},
|
||||
{"id":"8f83a29609c7b25b","type":"file","file":"7 - Introduction to quantum information processing/1 - Concetti base/stato base di un qubit.md","x":-60,"y":300,"width":400,"height":400},
|
||||
{"id":"5f2016741408e9b8","type":"file","file":"7 - Introduction to quantum information processing/1 - Concetti base/bra.md","x":1060,"y":300,"width":400,"height":400},
|
||||
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|
||||
{"id":"c054748db591a9a8","type":"file","file":"7 - Introduction to quantum information processing/1 - Concetti base/prodotto scalare.md","x":1340,"y":-260,"width":400,"height":400},
|
||||
{"id":"8f83a29609c7b25b","type":"file","file":"7 - Introduction to quantum information processing/1 - Concetti base/stato base di un qbit.md","x":-60,"y":300,"width":400,"height":400},
|
||||
{"id":"6760e1a2e3bc62b5","type":"file","file":"7 - Introduction to quantum information processing/1 - Concetti base/prodotto tensoriale.md","x":500,"y":860,"width":400,"height":400},
|
||||
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|
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{"id":"504f9e94a14be918","type":"file","file":"7 - Introduction to quantum information processing/1 - Concetti base/sfera di Bloch.md","x":-620,"y":300,"width":400,"height":400},
|
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|
||||
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|
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|
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|
||||
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|
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|
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|
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|
||||
]
|
||||
}
|
||||
Binary file not shown.
|
After Width: | Height: | Size: 6 KiB |
|
|
@ -0,0 +1,12 @@
|
|||
Combinazione di più [[gate quantistico|gate quantistici]].
|
||||
|
||||
In notazione matematica, vengono eseguiti da destra verso sinistra:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\Huge
|
||||
\mathbf{4\ 3\ 2\ 1} \ket{\psi} = (\ \mathbf{4} (\ \mathbf{3} (\ \mathbf {2} (\ \mathbf{1} \ket{\psi}\ )\ )\ )\ )
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Nei diagrammi di circuito, vengono eseguiti da sinistra verso destra:
|
||||
|
||||
![[circuito quantistico a caso.png]]
|
||||
|
|
@ -0,0 +1,30 @@
|
|||
Un [[gate quantistico]] che permette di effettuare una rotazione su asse arbitrario.
|
||||
|
||||
Usando la [[formula di Eulero]], esso corrisponde a:
|
||||
$$
|
||||
\def \varX {{\color{coral} \theta}}
|
||||
\def \varY {{\color{cornflowerblue} \phi}}
|
||||
\def \varZ {{\color{yellowgreen} \lambda}}
|
||||
\def \varI {{\color{hotpink} i}}
|
||||
\Huge
|
||||
\mathbf{U}(\varX, \varY, \varZ) = \begin{bmatrix}
|
||||
\cos \left( \frac{\varX}{2} \right) &
|
||||
- e^{\varI \varZ} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right) \\
|
||||
e^{\varI \varY} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right) &
|
||||
e^{\varI \varY + \varI \varZ} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right)
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Espanso, sarebbe:
|
||||
$$
|
||||
\def \varX {{\color{coral} \theta}}
|
||||
\def \varY {{\color{cornflowerblue} \phi}}
|
||||
\def \varZ {{\color{yellowgreen} \lambda}}
|
||||
\def \varI {{\color{hotpink} i}}
|
||||
\mathbf{U}(\varX, \varY, \varZ) = \begin{bmatrix}
|
||||
\cos \frac{\varX}{2} &
|
||||
- (\cos \varZ + \varI \sin \varZ) \cdot \sin \frac{\varX}{2} \\
|
||||
(\cos \varY + \varI \sin \varY) \cdot \sin \frac{\varX}{2} &
|
||||
(cos (\varY + \varZ) + \varI \sin (\varY + \varZ)) \cdot \sin \frac{\varX}{2}
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
$$
|
||||
|
|
@ -14,3 +14,7 @@ Un gate quantistico è rappresentato in un circuito quantistico come un quadrato
|
|||
### Nella [[sfera di Bloch]]
|
||||
|
||||
Un qubit a cui viene applicato un gate ruota il proprio vettore nella [[sfera di Bloch]] attorno a un determinato asse dipendente dal gate.
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||||
|
||||
## Particolarità
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||||
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||||
Essendo una [[trasformazione unitaria]], è sempre reversibile applicandolo nuovamente.
|
||||
|
|
|
|||
|
|
@ -6,7 +6,9 @@
|
|||
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|
||||
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|
||||
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|
||||
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|
||||
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|
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|
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|
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@ -14,6 +16,10 @@
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@ -0,0 +1,13 @@
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|||
[[gate quantistico complesso]] che scambia gli [[qbit|stati di due qbit]].
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$$
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\Huge
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\mathbf{S}_{0 \leftrightarrow 1}
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=
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\begin{bmatrix}
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1 & 0 & 0 & 0 \\
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0 & 0 & 1 & 0 \\
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0 & 1 & 0 & 0 \\
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0 & 0 & 0 & 1
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\end{bmatrix}
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$$
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@ -0,0 +1,18 @@
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aliases:
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- CNOT gate
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- quantum controlled NOT gate
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- Feynman gate
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[[Pauli X gate]] che opera condizionalmente su un [[qbit]] in base allo stato di un altro [[qbit]]:
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$$
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\Huge
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\mathbf{X}_{0 \to 1}
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=
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\begin{bmatrix}
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1 & 0 & 0 & 0 \\
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0 & 1 & 0 & 0 \\
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0 & 0 & 0 & 1 \\
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0 & 0 & 1 & 0
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\end{bmatrix}
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$$
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@ -0,0 +1,17 @@
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|||
[[gate quantistico universale]] che opera condizionalmente su un [[qbit]] in base allo stato di un altro [[qbit]]:
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$$
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\def \varX {{\color{coral} \theta}}
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\def \varY {{\color{cornflowerblue} \phi}}
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\def \varZ {{\color{yellowgreen} \lambda}}
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\def \varI {{\color{hotpink} i}}
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\Huge
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\mathbf{U}_{0 \to 1}(\varX, \varY, \varZ)
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=
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\begin{bmatrix}
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1 & 0 & 0 & 0 \\
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0 & 1 & 0 & 0 \\
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0 & 0 & e^{\varI \varY} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right) & e^{\varI \varY + \varI \varZ} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right) \\
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||||
0 & 0 & \cos \left( \frac{\varX}{2} \right) &
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||||
- e^{\varI \varZ} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right)
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\end{bmatrix}
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$$
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@ -1,9 +1,3 @@
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aliases:
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- equal superposition
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Particolare [[entanglement]] usato per computare in parallelo tanti possibili [[9 - Algoritmi distribuiti/1 - Problemi algoritmici/parametro|input]] a un problema.
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$$
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@ -1,6 +1,6 @@
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Per effettuare una [[computazione quantistica]] si procede per passi:
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1. Si crea una [[superposizione uguale]] sui [[qbit]] in [[9 - Algoritmi distribuiti/1 - Problemi algoritmici/parametro|input]].
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1. Si crea una [[equal superposition]] sui [[qbit]] in [[9 - Algoritmi distribuiti/1 - Problemi algoritmici/parametro|input]].
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||||
2. Si introducono [[qbit]] di [[risultato|output]] inizializzati a un valore costante.
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||||
3. Si applica un [[gate complesso]] che effettua la computazione classica con i [[qbit]] in [[9 - Algoritmi distribuiti/1 - Problemi algoritmici/parametro|input]].
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4. Si [[misura|misurano]] i [[qbit]] in [[risultato|output]].
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@ -1,6 +1,6 @@
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{
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"nodes":[
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||||
{"id":"d1d50a48dd6ecf09","type":"file","file":"7 - Introduction to quantum information processing/4 - Modello computazionale/superposizione uguale.md","x":-220,"y":-200,"width":400,"height":400},
|
||||
{"id":"d1d50a48dd6ecf09","type":"file","file":"7 - Introduction to quantum information processing/4 - Modello computazionale/equal superposition.md","x":-220,"y":-200,"width":400,"height":400},
|
||||
{"id":"54d76b9382fca131","x":340,"y":-200,"width":400,"height":400,"type":"file","file":"7 - Introduction to quantum information processing/4 - Modello computazionale/modello computazionale generale.md"}
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],
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"edges":[
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@ -0,0 +1,15 @@
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Particolare [[qbit|stato]] di due [[qbit]] composto nel seguente modo:
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$$
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\Huge
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\ket{\Phi}
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=
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\frac{
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3 \cdot \ket{00} +
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1 \cdot \ket{01} +
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1 \cdot \ket{10} -
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1 \cdot \ket{11}
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}{\sqrt{12}}
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$$
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Se ad entrambi i qbit viene applicato un [[Hadamard gate]], gli stati $\ket{01}$ e $\ket{10}$ cessano di essere possibili, dando origine al fenomeno della [[spooky action at a distance]].
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@ -0,0 +1,509 @@
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Dobbiamo determinare i parametri dei gate da utilizzare per costruire il seguente stato:
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\ket{\Phi}_2 = \frac{1}{\sqrt{12}}\ (\ 3 \ket{00} + 1 \ket{01} + 1 \ket{10} - 1 \ket{11}\ )
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$$
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### Costruzione del gate $\mathbf{U_A}$ da applicare al qbit 0
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Vogliamo usare un gate $\mathbf{U_0}(\theta, \phi, \lambda)$ per configurare il bit più a destra dello stato, assumendo che lo stato iniziale sia $\ket{00}$.
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Raccogliamo il qbit più a destra:
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$$
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\ket{\Phi}_2 = \frac{1}{\sqrt{12}} \ (\ {\color{orange} (3\ket{0} + 1 \ket{1})}\ {\color{red} \ket{0}} + {\color{lime} (1\ket{0} - 1 \ket{1})}\ {\color{green} \ket{1}}\ )
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$$
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Ignorando il valore del qbit di sinistra, abbiamo che:
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$$
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\frac{1}{\sqrt{12}} \ \left(\ {\color{orange} \sqrt{3^2 + 1^2}}\ {\color{red} \ket{\_0}} + {\color{lime} \sqrt{1^2 + (-1)^2}}\ {\color{green} \ket{\_1}}\ \right) =
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\frac{1}{\sqrt{12}} \ \left(\ {\color{orange} \sqrt{10}}\ {\color{red} \ket{\_0}} + {\color{lime} \sqrt{2}} {\color{green}\ \ket{\_1}}\ \right)
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$$
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Ricordando che il gate $\mathbf{U}(\theta, \phi, \lambda)$ è composto così:
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$$
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\mathbf{U}(\theta, \phi, \lambda) = \left[ \begin{matrix}
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{\color{Gray} Out} & {\color{Gray} In_{\ket{\_0}}} & {\color{Gray} In_{\ket{\_1}}} \\\ \\
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{\color{Red} \ket{\_0}} & \cos \left( \frac{\theta}{2} \right) & {\color{LightGray} - e^{i\lambda} \sin \left( \frac{\theta}{2} \right)}
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\\\ \\
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{\color{Green} \ket{\_1}} & e^{i \phi} \sin \left( \frac{\theta}{2} \right) & {\color{LightGray} e^{i(\phi + \lambda)} \cos \left( \frac{\theta}{2} \right)}
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\end{matrix} \right]
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$$
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E che vogliamo ottenere il seguente gate:
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$$
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\mathbf{U_A} (\theta, \phi, \lambda) \ket{\_0} = \frac{1}{\sqrt{12}} \ \left(\ {\color{orange} \sqrt{10}}\ {\color{red} \ket{\_0}} + {\color{lime} \sqrt{2}} {\color{green}\ \ket{\_1}}\ \right)
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$$
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Possiamo portare a destra tutti i termini che non sono il gate, ottenendo:
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$$
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\mathbf{U_A} (\theta, \phi, \lambda) = \frac{1}{\sqrt{12}}
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$$
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Abbiamo che:
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$$
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\mathbf{U_A} (\theta, \phi, \lambda) = \frac{1}{\sqrt{12}} \left[ \begin{matrix}
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{\color{Gray} Out} & {\color{Gray} In_{\ket{\_0}}} & {\color{Gray} In_{\ket{\_1}}} \\\ \\
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{\color{Red} \ket{\_0}} & {\color{Orange} \sqrt{10}} & {\color{LightGray} ?}
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\\\ \\
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{\color{Green} \ket{\_1}} &{\color{Lime} \sqrt{2}} & {\color{LightGray} ?}
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\end{matrix} \right]
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$$
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<aside>
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📘 Non ci interessa lo stato $\ket{\_1}$, perchè lo stato iniziale a cui applichiamo il gate $\mathbf{U_A}$ è sempre $\ket{00}$.
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</aside>
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Mettiamo a sistema i valori che ci servono:
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$$
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\begin{cases}
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{\color{Red} \ket{\_0}}: & \cos \left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{{\color{Orange} \sqrt{10}}}{\sqrt{12}}\\\ \\
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{\color{Green} \ket{\_1}}: & e^{i \phi} \sin \left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{{\color{Lime} \sqrt{2}}}{\sqrt{12}}\\
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\end{cases}
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$$
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Impostando le due dimensioni non-vincolate $\phi$ e $\lambda$ a $0$, abbiamo che:
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$$
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\begin{cases}
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\cos \left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{{\color{Orange} \sqrt{10}}}{\sqrt{12}}\\
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e^i \sin \left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{{\color{Lime} \sqrt{2}}}{\sqrt{12}}\\\phi = 0\\
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\lambda = 0\\
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\end{cases}
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$$
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Ci basta risolvere una delle due equazioni per trovare $\theta$, quindi decidiamo di risolvere quella sopra:
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$$
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\begin{cases}
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\theta = 2 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{{\color{Orange} \sqrt{10}}}{\sqrt{12}}\right) \approx 0.841\\
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\phi = 0\\
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\lambda = 0\\
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\end{cases}
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$$
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Per ottenere il bit di destra dello stato $\ket{\Psi}$ dobbiamo usare il gate $\mathbf{U_0}(0.841,\ 0,\ 0)$, che chiameremo $\mathbf{U_A}$!
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### Costruzione del gate $\mathbf{U_B}$ da applicare al qbit 1
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Ora dobbiamo configurare il qbit di sinistra, entangleandolo correttamente con il bit di destra.
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<aside>
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📘 Potremmo usare due gate $\mathbf{U}$ controllati, uno che si attiva quando $\mathbf{n_0}$, e uno che si attiva quando $\mathbf{\dot{n}_0}$.
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Visto però che i gate $\mathbf{U}$ controllati sono più costosi di quelli normali, possiamo usare un trucchetto per usare un solo $\mathbf{U}$ controllato e un $\mathbf{U}$ normale.
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Utilizziamo il gate $\mathbf{U}$ normale per configurare “globalmente” il qbit 1 per lo stato $\ket{\_0}$, e poi utilizziamo il gate $\mathbf{U}$ controllato per annullare le modifiche che esso ha apportato e per applicare una configurazione diversa per lo stato $\ket{\_1}$.
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</aside>
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Lo stato $\ket{\_0}$ che avevamo raccolto prima era composto da:
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$$
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\frac{1}{\sqrt{10}}\ ({\color{Orange} 3}\ {\color{Red} \ket{0\_}} + {\color{lime} 1}\ {\color{Green} \ket{1\_}})
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$$
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Allora, possiamo costruire il gate $\mathbf{U_B}$ usando un gate $\mathbf{U_1}(\theta, \phi, \lambda)$ tale che:
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$$
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\mathbf{U_B} \ket{0\_} = \frac{1}{\sqrt{10}}\ ({\color{Orange} 3}\ {\color{Red} \ket{0\_}} + {\color{lime} 1}\ {\color{Green} \ket{1\_}})
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$$
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Usiamo lo stesso processo che abbiamo usato prima (saltando alcuni passaggi):
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$$
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\begin{cases}
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{\color{Red} \ket{0\_}}: & \cos \left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{{\color{Orange} 3}}{\sqrt{10}}\\\ \\
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{\color{Green} \ket{1\_}}: & e^{i \phi} \sin \left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{{\color{lime} 1}}{\sqrt{10}}\\
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\end{cases}
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$$
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Semplificandoci ancora la vita:
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$$
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\begin{cases}
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\cos \left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{{\color{Orange} 3}}{\sqrt{10}}\\
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e^{i \phi} \sin \left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{{\color{lime} 1}}{\sqrt{10}}\\
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\phi = 0\\
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\lambda = 0\\
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\end{cases}
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$$
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E risolvendo ancora solo l’equazione sopra, abbiamo che:
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$$
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\begin{cases}
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\theta = 2 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{{\color{orange} 3}}{\sqrt{10}}\right) \approx 0.643\\\phi = 0\\
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\lambda = 0\\
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\end{cases}
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$$
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Per ottenere il bit di sinistra dello stato $\ket{\Psi}$ quando il bit di destra è impostato a zero dobbiamo usare il gate $\mathbf{U_1}(0.643,\ 0,\ 0)$, che chiameremo $\mathbf{U_B}$!
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### Costruzione del gate controllato $\mathbf{U_{C}}$
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Infine, dobbiamo costruire il gate che configura il bit di sinistra dello stato $\ket{\_1}$.
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Esso deve costruire il seguente stato:
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$$
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\frac{1}{\sqrt{2}}\ ({\color{DodgerBlue} 1} \ket{0\_} \ {\color{Turquoise} -\ 1}\ \ket{1\_})
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$$
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Inoltre, esso deve annullare le modifiche apportate da $\mathbf{U_B}$, ovvero:
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$$
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\frac{1}{\sqrt{10}}\ ({\color{OrangeRed} 3} \ket{0\_} + {\color{Goldenrod} 1} \ket{1\_})
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$$
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Usiamo un gate $\mathbf{U_{01}}(\theta, \phi, \lambda)$, che chiamiamo $\mathbf{U_C}$.
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Dobbiamo trovare i suoi parametri, in modo tale che:
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$$
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\mathbf{U_C}(\theta, \phi, \lambda) \otimes \frac{1}{\sqrt{10}}\ ({\color{OrangeRed} 3} \ket{0\_} + {\color{Goldenrod} 1} \ket{1\_}) = \frac{1}{\sqrt{2}}\ ({\color{DodgerBlue} 1} \ket{0\_} \ {\color{Turquoise} -\ 1}\ \ket{1\_})
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$$
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Abbiamo quindi che:
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$$
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\mathbf{U_C} (\theta, \phi, \lambda)\ \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{12}} \left[ \begin{matrix}
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{\color{Gray} Out} & {\color{Gray} In_{\ket{\_0}}} & {\color{Gray} In_{\ket{\_1}}} \\\ \\
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{\color{Gray} \ket{\_0}} & {\color{OrangeRed} 3}\ \cdot\ {\color{DodgerBlue} 1} & {\color{Goldenrod} 1}\ \cdot\ {\color{DodgerBlue} 1}
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\\\ \\
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{\color{Gray} \ket{\_1}} &{\color{OrangeRed} 3}\ \cdot\ {\color{Turquoise} -1} & {\color{Goldenrod} 1}\ \cdot\ {\color{Turquoise} -1}
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\end{matrix} \right] = 1
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$$
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E allora, che: [qual è il passaggio matematico qui?]
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$$
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\begin{cases}
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\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{12}} & ({\color{OrangeRed} 3}\ \cdot\ {\color{DodgerBlue} 1}) \cos \frac{\theta}{2} & - &({\color{Goldenrod} 1}\ \cdot\ {\color{DodgerBlue} 1})\ e^{i\lambda} \sin \frac{\theta}{2} & = 1\\
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\\
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\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{12}} & \left({\color{OrangeRed} 3}\ \cdot\ {\color{Turquoise} -1} \right) e^{i \phi} \sin \frac{\theta}{2} & + & ({\color{Goldenrod} 1}\ \cdot\ {\color{Turquoise} -1})\ e^{i\phi + i\lambda} \cos \frac{\theta}{2} & = 1
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\end{cases}
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$$
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Semplificandoci ancora una volta la vita:
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$$
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\begin{cases}
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\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{12}} & ({\color{OrangeRed} 3}\ \cdot\ {\color{DodgerBlue} 1}) \cos \frac{\theta}{2} & - &({\color{Goldenrod} 1}\ \cdot\ {\color{DodgerBlue} 1}) \sin \frac{\theta}{2} & = 1\\
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\\
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||||
\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{12}} & ({\color{OrangeRed} 3}\ \cdot\ {\color{Turquoise} -1}) \sin \frac{\theta}{2} & + & ({\color{Goldenrod} 1}\ \cdot\ {\color{Turquoise} -1}) \cos \frac{\theta}{2} & = 1\\
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\\
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\phi = 0\\
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\\
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\lambda = 0
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\end{cases}
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||||
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||||
$$
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E allora:
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$$
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\begin{cases}
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({\color{OrangeRed} 3}\ \cdot\ {\color{DodgerBlue} 1}) \cos \frac{\theta}{2} & - &({\color{Goldenrod} 1}\ \cdot\ {\color{DodgerBlue} 1}) \sin \frac{\theta}{2} & = &\left({\color{OrangeRed} 3}\ \cdot\ {\color{Turquoise} -1} \right) \sin \frac{\theta}{2} & + & ({\color{Goldenrod} 1}\ \cdot\ {\color{Turquoise} -1}) \cos \frac{\theta}{2}\\
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\\
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\phi = 0\\
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\\
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\lambda = 0
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\end{cases}
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$$
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Che risulta in:
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$$
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\begin{cases}
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4 \cos \frac{\theta}{2} + 2 \sin \frac{\theta}{2} = 0\\
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\phi = 0\\
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\lambda = 0
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\end{cases}
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$$
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Quindi:
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$$
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\begin{cases}
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\theta \approx -2.214\\
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\phi = 0\\
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\lambda = 0
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\end{cases}
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$$
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Per ottenere il bit di sinistra dello stato $\ket{\Psi}$ quando il bit di destra è impostato a uno dobbiamo usare il gate $\mathbf{U_{01}}(-1.571,\ 0,\ 0)$, che chiameremo $\mathbf{U_C}$!
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### Risultato
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<aside>
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📘 Utilizzando lo stesso procedimento possiamo costruire qualsiasi stato arbitrario costante a $n$ qbit!
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Richiederebbe però $\sum_{i=1}^n n$ gates $\mathbf{U}$, e degli $\mathbf{U}$ gates con doppio controllo, amichevolmente chiamati $\mathbf{U}$-Toffoli dalla chat…
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</aside>
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@ -0,0 +1,77 @@
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Per creare un [[Hardy state]] partendo da $\ket{00}$, è necessario:
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==TODO: Formattare con sintassi matematica decente.==
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1. Separare i [[qbit]] nell'equazione dello stato:
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$$
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\def \noteA {{\color{grey} a}}
|
||||
\def \noteB {{\color{grey} b}}
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||||
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||||
\displaylines{
|
||||
\ket{00} = \ket{0}_\noteA \otimes \ket{0}_\noteB \\
|
||||
\ket{01} = \ket{0}_\noteA \otimes \ket{1}_\noteB \\
|
||||
\ket{10} = \ket{1}_\noteA \otimes \ket{0}_\noteB \\
|
||||
\ket{11} = \ket{1}_\noteA \otimes \ket{1}_\noteB
|
||||
}
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||||
$$
|
||||
2. Raccogliere i bit dello stato:
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$$
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||||
\frac{1}{\sqrt{12}}
|
||||
\cdot
|
||||
{\LARGE(\ }
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||||
(\ 3 \ket{0}_\noteA + 1 \ket{1}_\noteA\ ) \otimes \ket{0}_\noteB
|
||||
+
|
||||
(\ 1 \ket{0}_\noteA - 1 \ket{1}_\noteA\ ) \otimes \ket{1}_\noteB
|
||||
{\ \LARGE)}
|
||||
$$
|
||||
3. Determinare la somma dei quadrati dei coefficienti:
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||||
$$
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||||
\large
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||||
\begin{matrix}
|
||||
\ket{0}_\noteB & : & \frac{\sqrt{3^2 + 1^2}}{\sqrt{12}} &=& \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{12}} \\
|
||||
\ket{1}_\noteB & : & \frac{\sqrt{1^2 + 1^2}}{\sqrt{12}} &=& \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{12}}
|
||||
\end{matrix}
|
||||
$$
|
||||
4. Determinare i parametri del [[gate quantistico universale]] per il secondo qbit $\mathbf{U}_\noteB (\theta, \phi, \lambda)$:
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||||
$$
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||||
\large
|
||||
\displaylines{
|
||||
\begin{cases}
|
||||
\cos \frac{\phi}{2} &=& \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{12}} \\
|
||||
e^{i \theta} \sin \frac{\phi}{2} &=& \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{12}} \\
|
||||
\end{cases}
|
||||
\\\\\updownarrow\\\\
|
||||
\begin{cases}
|
||||
\phi &=& 2 \arccos \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{12}} \\
|
||||
\theta &=& 0 \\
|
||||
\lambda &=& 0
|
||||
\end{cases}
|
||||
}
|
||||
$$
|
||||
5. Determinare la somma dei quadrati dei coefficienti quando il bit $\noteB$ è $\ket{0}$:
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||||
$$
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||||
\large
|
||||
\begin{matrix}
|
||||
\ket{0}_\noteA \otimes \ket{0}_\noteB & : & \frac{3}{\sqrt{12}} \\
|
||||
\ket{1}_\noteA \otimes \ket{0}_\noteB & : & \frac{1}{\sqrt{12}}
|
||||
\end{matrix}
|
||||
$$
|
||||
6. Determinare i parametri del [[gate quantistico universale]] per il primo qbit $\mathbf{U}_\noteA$:
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||||
$$
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||||
\large
|
||||
\displaylines{
|
||||
\begin{cases}
|
||||
\cos \frac{\phi}{2} &=& \frac{3}{\sqrt{12}} \\
|
||||
e^{i \theta} \sin \frac{\phi}{2} &=& \frac{1}{\sqrt{12}} \\
|
||||
\end{cases}
|
||||
\\\\\updownarrow\\\\
|
||||
\begin{cases}
|
||||
\phi &=& 2 \arccos \frac{3}{\sqrt{10}} \\
|
||||
\theta &=& 0 \\
|
||||
\lambda &=& 0
|
||||
\end{cases}
|
||||
}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
==TODO: Non lo so, mi sono perso.==
|
||||
|
|
@ -20,7 +20,7 @@ $$
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|||
\mathbf{U}_f \left( \varB \otimes \ket{0} \right) = \varB \otimes \varB
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Creando una [[superposizione]] generica, e usando la [[linearità]] per risolverla:
|
||||
Creando una [[superposizione]] generica, e usando [[proprietà distributiva]] data dalla [[linearità]] per risolverla:
|
||||
$$
|
||||
\displaylines{
|
||||
\mathbf{U}_f \left(
|
||||
|
|
@ -68,8 +68,52 @@ $$
|
|||
ab \cdot ( \varA \otimes \varB )
|
||||
+
|
||||
ab \cdot ( \varB \otimes \varA )
|
||||
|
||||
}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
I risultati sono diversi, il che è impossibile!
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||||
I risultati possono essere uguali solo se:
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$$
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||||
\small
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||||
a \cdot \left(
|
||||
\varA \otimes \varA
|
||||
\right)
|
||||
+
|
||||
b \cdot \left(
|
||||
\varB \otimes \varB
|
||||
\right)
|
||||
=
|
||||
a^2 \cdot ( \varA \otimes \varA )
|
||||
+
|
||||
b^2 \cdot ( \varB \otimes \varB )
|
||||
+
|
||||
ab \cdot ( \varA \otimes \varB )
|
||||
+
|
||||
ab \cdot ( \varB \otimes \varA )
|
||||
$$
|
||||
Ovvero, quando:
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||||
$$
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||||
\begin{cases}
|
||||
a &=& a^2 \\
|
||||
b &=& b^2
|
||||
\end{cases}
|
||||
$$
|
||||
Cioè:
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||||
$$
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||||
\begin{cases}
|
||||
a \cdot b = 0 \\\\
|
||||
a = 0 \\
|
||||
b = 1
|
||||
\end{cases}
|
||||
\quad
|
||||
\bigcup
|
||||
\quad
|
||||
\begin{cases}
|
||||
a \cdot b = 0 \\\\
|
||||
a = 1 \\
|
||||
b = 0
|
||||
\end{cases}
|
||||
$$
|
||||
Il gate $\mathbf{U}_f$ esiste quindi solo per gli stati [[ortogonale|ortogonali]].
|
||||
|
||||
> [!Note]
|
||||
> Per gli stati $\ket{0}$ e $\ket{1}$, il gate $\mathbf{U}_f$ è il [[controlled Pauli X gate]] $\mathbf{X}_n$!
|
||||
|
|
@ -0,0 +1,23 @@
|
|||
Fenomeno particolare che si manifesta con due [[qbit]] in [[entanglement]].
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||||
|
||||
Anche se questi due [[qbit]] vengano fisicamente separati e messi a grande distanza tra loro, le [[gate quantistico|operazioni]] che vengono effettuate su di essi li portano a influenzare immediatamente i risultati delle [[misura|misure]] effettuate su di essi.
|
||||
|
||||
> [!Quote] Albert Einstein
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||||
> _“I cannot seriously believe in it because the theory cannot be reconciled with the idea that physics should represent a reality in time and space, free from spooky action at a distance.”_
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||||
## Con l'[[Hardy state]]
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||||
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||||
Sono dati due [[qbit]] a grande distanza nell'[[Hardy state]] e due [[entità]] che li controllano, dette *Alice* e *Bob*, incaricati di [[misura|misurarli]].
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||||
Si lascia loro la possibilità di scegliere se prima della misura vada applicato un [[Hadamard gate]] al proprio [[qbit]].
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I risultati possibili sono i seguenti:
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| Alice | Bob | Stato (non normalizzato) | Note |
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| ------------------------ | ------------------------ | --------------------------------------------------- | -------------------------------------- |
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| $\color{Grey}\mathbf{1}$ | $\color{Grey}\mathbf{1}$ | $3 \ket{00} + 1 \ket{01} + 1 \ket{10} - 1 \ket{11}$ | Tutti i risultati sono possibili. |
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||||
| $\color{Grey}\mathbf{1}$ | $\color{Lime}\mathbf{H}$ | $3 \ket{00} + 1 \ket{01} + \ket{11}$ | È impossibile il risultato $\ket{10}$. |
|
||||
| $\color{Lime}\mathbf{H}$ | $\color{Grey}\mathbf{1}$ | $3 \ket{00} + 1 \ket{10} + \ket{11}$ | È impossibile il risultato $\ket{01}$. |
|
||||
| $\color{Lime}\mathbf{H}$ | $\color{Lime}\mathbf{H}$ | $\ket{00} + \ket{01} + \ket{10}$ | È impossibile il risultato $\ket{11}$. |
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||||
|
||||
In qualche modo, se si considerano i due [[qbit]] come oggetti fisici separati, essi devono avere trasmesso informazioni in qualche momento per raggiungere a quello stato, o alternativamente deve significare che l'universo non è [[principio di località|locale]].
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||||
|
|
@ -0,0 +1,14 @@
|
|||
{
|
||||
"nodes":[
|
||||
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||||
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|
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