Importa Statistica ed da Steffo99/appunti-universitari

3 - Statistica ed elementi di probabilità/1 - Appunti/0 - Informazioni sul corso.md

@@ -0,0 +1,16 @@
+# Statistica e Probabilità
+
+Docente: [**Luca La Rocca**](http://personale.unimore.it/rubrica/dettaglio/llarocca) ([email](luca.larocca@unimore.it), [pagina del corso](http://www-dimat.unipv.it/luca/sep1920.htm))
+
+Crediti: **6 CFU**
+
+Orario di ricevimento: **Lunedì dalle 14:00 alle 16:00** o _su appuntamento_
+
+## Materiale
+
+Libri:
+- [Probabilità e Statistica per ingegneria e scienze, M. Boella](www.pearson.it/opera/pearson/21-4121-probabilita_e_statistica_per_ingegneria_e_scienze) (ISBN: 9788871926186)
+
+## Esame
+
+Orale

3 - Statistica ed elementi di probabilità/1 - Appunti/1 - Introduzione a R.md

@@ -0,0 +1,80 @@
+# Un'introduzione a R
+
+> ![](https://i.imgur.com/1CBjvkf.jpg)
+
+## Caricare file su R
+
+Innanzitutto, carichiamo il file `.csv` su R con la funzione `read.csv2(filename)`:
+
+```r
+# Numeri con il punto, separato da virgola
+X = read.csv("01_Dati.csv")
+# Numeri con la virgola, separato da punto e virgola
+X = read.csv2("01_Dati.csv")
+``` 
+
+In questo modo, avremo creato una nuova tabella chiamata `X` con all'interno tutti i valori.
+
+## Stampare testo
+
+Possiamo stampare testo con la funzione `cat(string)`:
+
+```r
+cat("Hello world!")
+```
+
+Tutti gli argomenti saranno automaticamente concatenati e convertiti appropriatamente in stringhe:
+
+```r
+cat("2+5=", 2+5);
+```
+
+## Operazioni sulle colonne
+
+Possiamo selezionare una colonna con l'operatore `$`:
+
+```r
+# Seleziona la colonna A della tabella X
+X$A
+```
+
+Aggiungiamo una nuova colonna contenente la differenza tra ogni valore di X$A e X$B:
+
+```r
+X$D = X$A - X$B
+```
+
+## Riassunto di una tabella
+
+Possiamo visualizzare velocemente informazioni su una tabella con la funzione `summary(table)`:
+
+```r
+summary(X)
+```
+
+## Deviazione standard
+
+Possiamo calcolare la deviazione standard su una colonna con la funzione `SD(column)`:
+
+```r
+# Trova lo scarto quadratico medio/deviazione standard dei valori nella colonna A di X
+SD(X$A)
+
+# Trova lo scarto quadratico medio/deviazione standard dei valori nella colonna B di X
+SD(X$B)
+
+# Trova lo scarto quadratico medio/deviazione standard dei valori della differenza di X
+SD(X$D)
+```
+
+## Generazione di `.pdf`
+
+Possiamo generare un `.pdf` con tutti i dati del workspace con la funzione `pdf(filename)`:
+
+```r
+pdf("01_Risultato.pdf")
+```
+
+## Creazione di grafici
+
+TODO: funzioni `hist()`, `boxplot()`, `t.test()`

3 - Statistica ed elementi di probabilità/1 - Appunti/2 - Fenomeni aleatori.md

@@ -0,0 +1,92 @@
+# Fenomeni aleatori
+
+Un fenomeno aleatorio è un qualcosa che ha una certa possibilità di avvenire, e se l'evento viene ripetuto all'infinito, avverrà sempre almeno una volta.
+
+Chiamiamo un fenome aleatorio con la terna (\omega, \corsivo{f}, \mathbb{P}).
+
+## \omega ("omegone", alfabeto)
+
+**\omega** rappresenta l'insieme non vuoto dei possibili risultati dell'evento.  
+
+> In un lancio di dado a 6 facce, `\omega = {1, 2, 3, 4, 5, 6}`.
+
+I risultati sono anche detti _esiti sperimentali_.
+
+> **Esercizio 1**
+>
+> Lanciando un dado, a quale parte di \omega corrispondono gli eventi:
+>
+> - ...il numero ottenuto è primo: `A = {2, 3, 5}`
+> - ...il numero ottenuto è divisibile per due: `B = {2, 4, 6}`
+> - ...il numero ottenuto è dispari: `C = {1, 3, 5}`
+> - ...il numero ottenuto è divisibile per tre: `D = {3, 6}`
+>
+> Abbiamo creato dei sottoinsiemi di \omega: `\omega \contains A, B, C, D`
+
+### Negazione
+
+Possiamo anche negare un sottoinsieme di eventi, aggiungendo ¬ prima del nome del sottoinsieme:
+
+> - ...il numero ottenuto **non** è primo: `¬A = {1, 4, 6}`
+> - ...il numero ottenuto **non** è divisibile per due: `¬B = {1, 3, 5}`
+> - ...il numero ottenuto **non** è dispari: `¬C = B = {2, 4, 6}`
+
+Due negazioni di sottoinsieme si annullano: `¬¬\omeghino = \omeghino`
+
+La definizione matematica è:
+```latex
+¬A = {\omeghino \in \omega | \omeghino \not \in A}
+```
+
+### Intersezioni
+
+Possiamo intersecare due sottoinsiemi per ottenere gli eventi che soddisfano entrambe le condizioni: 
+
+> - ...il numero ottenuto è primo **e** divisibile per due: `A \cap B = {2}`
+> - ...il numero ottenuto è divisibile per due **e** per tre: `B \cap D = {6}`
+> - ...il numero ottenuto è divisibile per due **e** dispari: `B \cap C = {}`
+
+Due sottoinsiemi la cui intersezione è nulla sono **mutualmente esclusivi**.
+
+La definizione matematica è:
+```latex
+A \cup B = {\omeghino \in \omega | \omeghino \in A\ and\ \omeghino \in B}
+```
+
+### Unioni
+
+Possiamo unire due sottoinsiemi per ottenere gli eventi che soddisfano una delle due condizioni:
+
+> - ...il numero ottenuto è primo **o** divisibile per due: `A \cup B = {2, 3, 4, 5, 6}`
+> - ...il numero ottenuto è divisibile per due **o** è dispari: `C \cup D = \omega`
+
+La definizione matematica è:
+```latex
+A \cap B = {\omeghino \in \omega | \omeghino \in A\ or\ \omeghino \in B}
+```
+
+### Differenza
+
+Possiamo effettuare la differenza tra due sottoinsiemi, ma non ci è molto utile, in quanto si può comporre con intersezioni e negazioni: `A \ D = A \cap ¬D = {2, 5}`
+
+## \corsivo{f} (sigma-algebra, famiglia degli eventi)
+
+\corsivo{f} è detta la _sigma-algebra_, ed è l'insieme di tutti i risultati di operazioni effettuabili tra gli eventi: sono presenti in questo insieme l'insieme vuoto, l'insieme pieno e gli insiemi dati da qualsiasi combinazione di negazione, unione e intersezione di due sottoinsiemi.
+
+E' quello che in algebra lineare abbiamo chiamato uno **spazio chiuso** rispetto alle operazioni di negazione, intersezione e unione. 
+
+E' lo **spazio generato dall'alfabeto \omega**.
+
+> In un lancio di moneta:
+> - `\omega = {"testa", "croce"}
+> - `\corsivo{f} = {\empty, {"testa"}, {"croce"}, \omega}
+
+Tutti i sottoinsiemi dati da operazioni su insiemi \in \corsivo{f} sono a loro volta \in \corsivo{f}.
+
+Possiamo generare ulteriori sigma-algebre da elementi di \corsivo{f}: 
+
+> `\sigmino (B)` è la sigma-algebra generata da B, ovvero la più piccola f contenente `B`, ovvero `{\empty, B}`.
+
+## \mathbb{P} (Probabilità)
+
+\mathbb{P} = \corsivo{f} → \mathbb{R}+

3 - Statistica ed elementi di probabilità/1 - Appunti/3 - Valutazioni classiche.md

@@ -0,0 +1,11 @@
+# Valutazioni classiche di probabilità
+
+La _valutazione classica di probabilità_ è `\mathbb{P}(E) = \frac{casi\ favorevoli}{casi\ totali} = \frac{|E|}{|\Omega|}, E \in \corsivo{F}`
+
+> La probabilità di trovare una carta di picche in un mazzo di carte francesi è `\mathbb{P}(picche) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4} = 0.25 = 25%`.
+
+> La probabilità di trovare il 2 di picche in un mazzo di carte è `\mathbb{P}(2\ di\ picche) = \frac{1}{52} = \mathbb{P}(picche \cap 2)`.
+
+Nella probabilità classica, ogni singoletto ha la stessa probabilità di essere estratto, ed essa è uguale a: `\mathbb{P}\{\omega\} = \mathbb{P}(\{omega\}) = \frac{1}{|\Omega|}`.
+
+Per effettuare una valutazione classica, è obbligatorio che `|\Omega| < +\inf`, e dobbiamo implicare l'**equiprobabilità di ciascun singoletto**.

3 - Statistica ed elementi di probabilità/1 - Appunti/4 - Valutazioni frequentiste.md

@@ -0,0 +1,7 @@
+# Valutazioni frequentiste di probabilità
+
+La _valutazione frequentista di probabilità_ è `\mathbb{P}(E) = \frac{successi}{ripetizioni}`: ripetendo lo stesso evento `ripetizioni` volte, è uscito il risultato desiderato `successi` volte.
+
+Effettuando questo calcolo, assumiamo che `\lim_{n \to +\inf} \frac{S_n}{n} = \mathbb{P}(E)`, ovvero che ripetendo all'infinito l'evento, otterremo un successo `\mathbb{P}(E)` volte.
+
+Per effettuare una valutazione frequentista, è obbligatorio che `|\corsivo{F}| < +\inf` e che l'**evento `E` sia ripetibile**.

3 - Statistica ed elementi di probabilità/1 - Appunti/5 - Valutazioni soggettive.md

@@ -0,0 +1,10 @@
+# Valutazioni soggettive di probabilità
+
+La _valutazione soggettiva di probabilità_ è il **prezzo equo di un ricavo unitario** a cui è subordinata la verificabilità di E.
+
+Per esistere, richiede un soggetto che assegni questa probabilità: è a tutti gli effetti una **scommessa**.
+
+> Un amico ci vende un biglietto che vale € 1 se l'Inter vince la partita e € 0 se la perde.
+>
+> A quanto siamo disposti a comprarlo?
+

3 - Statistica ed elementi di probabilità/1 - Appunti/6 - Definizione assiomatica.md

@@ -0,0 +1,25 @@
+# Definizione assiomatica della probabilità
+
+`\mathbb{P} : \corsivo{F} \to \mathbb{R}_+`
+
+- La probabilità deve essere **normalizzata**: `\mathbb{P}(\Omega) = 1`
+- La probabilità deve essere **additiva**: `\mathbb{P}(E \cup F) = \mathbb{P}(E) + \mathbb{P}(F)` se `E \cap F = \empty`
+- La probabilità deve essere **continua da sotto**: `\mathbb{P}(\UNION_{n=1}^{+\inf} E_n) = \lim_{N -> +\inf} \mathbb{P}(\UNION_{n=1}^N E_n)`, dove [cose]
+
+## Conseguenze dell'assioma
+
+- `\mathbb{P}(\empty) = \mathbb{P}(\empty \cup \empty) = \mathbb{P}(\empty) + \mathbb{P}(\empty) = 2 \mathbb{P}(\empty) = \empty`
+
+> L'elemento impossibile ha probabilità 0.
+
+- Se `E \contains_or_equal F`, allora `\P(F \ E) = \P(F) - \P(E) \implies \P(E) \leq \P(F)`
+
+> La probabilità è monotona.
+
+- `\P(not\ E) = 1 - \P(E)` (**proprietà della negazione**)
+
+> La probabilità negata è `1 - \P(E)`
+
+- Se `E_1, E_2, \dots \qquad \forall i \neq j, E_i \cap E_j = \empty`, allora `\P (\UNION_{n=1}^{+\inf} E_n) = \lim_{N \to +\inf} \P(\UNION_{i = 1}^{N} E_n) = \lim_{N \to +\inf} \SUM_{n=1}^N \P(E_n) = \SUM_{n=1}^+\inf \P(E_n)` 
+
+> Probabilità disgiunte possono essere sommate per effettuarne l'unione.

3 - Statistica ed elementi di probabilità/1 - Appunti/7 - Il paradosso dei compleanni.md

@@ -0,0 +1,28 @@
+# Il Paradosso dei Compleanni
+
+> Un docente è in aula con `n` studenti.  
+>
+> Supponendo per semplicità che i compleanni siano distribuiti uniformemente nel corso dell'anno e che nessuno dei presenti sia nato il 29 febbraio, quanto valuteremo, in funzione di `n`, la probabilità che vi sia in aula uno studente con il compleanno nello stesso giorno del docente?  
+>
+> La probabilità che vi siano in aula due persone con il compleanno lo stesso giorno?
+>
+> Quanto valgono queste probabilità per `n` = 50?
+>
+> Quanto deve essere grande `n` affinchè ciascuna di queste probabilità risulti maggiore del 50%?
+
+```latex
+\Omega = \{(\omega_0, \omega_1, \dots, \omega_n | \omega_i \in {1, 2, \dots, 365}, i = 0, 1, \dots, n)\}
+
+\corsivo{F} = \corsivo{p)(\Omega)
+
+|\Omega| = 365^{n+1}
+
+E = almeno\ una\ coincidenza\ con\ docente
+F = almeno\ due\ compleanni\ uguali
+
+\mathbb{P}(E) \leq \mathbb{P}(F)
+
+\mathbb{P}(E) = 1 - \mathbb{P}(¬E) = 1 - \frac{365*364*364*\dots*364}{365^{n+1}} = 1 - \frac{364}{365}^n
+
+\mathbb{P}(F) = 1 - \mathbb{P}(¬F) = 1 - \frac{364*363*362*361*\dots*(365-n)}{365^{n+1}} = 1 - \PRODUCT_{i=0}^n \frac{365-i}{365}
+```

3 - Statistica ed elementi di probabilità/1 - Appunti/8 - Spazi.md

@@ -0,0 +1,20 @@
+# Spazi
+
+## Spazi combinatori
+
+Sono _spazi combinatori_:
+
+- disposizioni
+- disposizioni con ripetizione
+- combinazioni
+- permutazioni
+
+### Disposizioni
+
+### Disposizioni con ripetizione
+
+### Combinazioni
+
+I casi totali sono `n!`, mentre i casi favoreboli sono ``
+
+### Permutazioni