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problema di ottimizzazione appartenente alla classe di problemi NP-difficili.
Enunciato
Dato un grafo completo pesato, qual è il ciclo hamiltoniano di costo minimo?
Verifica
Dato un grafo completo pesato, e un ciclo hamiltoniano, esso è quello di costo minimo?
Dimostrazione della classe di problemi NP-difficili
Si può fare uso della ricerca di ciclo hamiltoniano per dimostrare la classe di appartenenza di questo problema.
\def \varGraphA {{\color{DarkSalmon} Graph_{Hamilton}}}
\def \varEdgesA {{\color{LightSalmon} Edges_{Hamilton}}}
\def \varGraphB {{\color{Orchid} Graph_{Salesman}}}
\def \varEdgesB {{\color{Thistle} Edges_{Salesman}}}
\def \varCost {{\color{MediumPurple} Cost_{Salesman}}}
\def \varNodes {{\color{SpringGreen} Nodes_{Shared}}}
\tiny\color{Gray} [Definizione\ variabili\ \TeX\ qui]
Partiamo dal grafo semplice della ricerca di ciclo hamiltoniano, che definiamo così:
\varGraphA = (\varNodes, \varEdgesA)
Vogliamo associare ogni istanza di esso a un'istanza di problema del commesso viaggiatore, che però richiede che il grafo sia grafo completo e pesato:
\varGraphB = (\varNodes, \varEdgesB)
Allora, sfruttiamo i pesi a nostro vantaggio per creare un grafo in cui gli archi di \varGraphA siano sempre preferiti nella scelta del percorso:
\forall\ edge \in \varEdgesB : cost(edge) = \begin{cases}
\textrm{if}\ edge \in \varEdgesA & 0
\\
\textrm{else} & 1
\end{cases}
Una volta determinata la soluzione del problema del commesso viaggiatore, giungeremo a conoscenza del costo minimo del percorso che attraversa tutti i nodi:
travelingSalesmanProblem(\varGraphB) = \varCost
In base al costo minimo \varCost risultante, possiamo determinare la risposta al problema di ricerca di ciclo hamiltoniano.
Infatti, se una soluzione ad esso esiste, il problema del commesso viaggiatore darà \varCost = 0, in quanto tutti gli archi di \varGraphA sono preferiti per via del loro peso minore; viceversa, se una soluzione ad esso non esiste, l'output sarà \varCost > 0, che significa che è necessario aggiungere il dato numero di archi ulteriori per formare un ciclo hamiltoniano:
\begin{cases}
\textrm{if}\ \varCost = 0 & \exists\ hamiltonianCycle(\varGraphA)
\\
\textrm{else} & \not\exists\ hamiltonianCycle(\varGraphA)
\end{cases}