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algoritmo di approssimazione per il problema del commesso viaggiatore.
Per questo problema, il fattore di approsimazione \alpha può essere costante solo se .
L'algoritmo di approssimazione a fattore costante è riducibile alla ricerca di ciclo hamiltoniano.
Sfruttando la proprietà triangolare per il costo degli archi
Algoritmo
Tree
Si può trovare il albero di copertura minimo di Graph in tempo polinomiale.
2 \cdot Tree
Si raddoppiamento di arco gli archi di Tree.
Euler
Si trova il ciclo euleriano per 2 \cdot Tree.
Hamilton
Si trova il ciclo hamiltoniano per Tree, usando shortcut:
- Si selezionano i nodi di
Eulermantenendoli nello stesso ordine, ma scartando quelli che vi appaiono due volte, e poi connettendo l'ultimo al primo.
Hamilton è la soluzione approssimata, con fattore di approsimazione 2.
Dimostrazione
cost(Hamilton) \leq cost(Euler)
Per la proprietà triangolare per il costo degli archi.
cost(Euler) = 2 \cdot cost(Tree)
Per via del raddoppiamento di arco.
2 \cdot cost(Tree) \leq 2 \cdot cost(Optimal)
Togliendo un arco qualsiasi, Optimal diventa un albero di copertura.
Tree è un altro albero di copertura, ma albero di copertura minimo.
Tightness
#TODO was busy fixing the rest of the notes
Algoritmo di Christofides
Tree
Si può trovare il albero di copertura minimo di Graph in tempo polinomiale.
Perfect
Si trova il minimum perfect matching dei nodi di grado di un nodo dispari di Tree.
Merged
Si uniscono gli archi di Perfect a Tree.
Euler
Si trova il ciclo euleriano per Merged.
Hamilton
Si trova il ciclo hamiltoniano per Tree, usando shortcut:
- Si selezionano i nodi di
Eulermantenendoli nello stesso ordine, ma scartando quelli che vi appaiono due volte, e poi connettendo l'ultimo al primo.
Hamilton è la soluzione approssimata, con fattore di approsimazione 2.