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Un [[problema decisionale]] $A$ può essere trasformato in un altro [[problema decisionale]] $B$ attraverso una *riduzione di Karp* se:
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- la trasformazione è un'operazione in tempo [[polinomiale]]
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- ogni [[istanza positiva]] del primo problema rimane un'[[istanza positiva]] dopo essere stata trasformata
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- ogni [[istanza negativa]] del primo problema rimane un'[[istanza negativa]] dopo essere stata trasformata
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\def \varProblemA {{\color{DarkOrchid} Problem_{A}}}
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\def \varProblemB {{\color{SlateBlue} Problem_{B}}}
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\def \varProblemC {{\color{DarkOliveGreen} Problem_{C}}}
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\def \karp {\leq_p}
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\Huge
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\varProblemA \karp \varProblemB
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$$
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## Corollari
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Se un problema è [[polinomiale]], e un altro può essere ridotto ad esso, anche l'altro è [[polinomiale]]:
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$$
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\large
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\begin{cases}
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\varProblemA \karp \varProblemB
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\\\\
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\varProblemB \in P
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\end{cases}
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\implies
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\begin{cases}
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\\
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\varProblemA \in P
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\\\quad
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\end{cases}
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$$
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Se un problema non è [[polinomiale]], e può essere ridotto ad un altro, anche l'altro non è [[polinomiale]]:
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$$
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\large
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\begin{cases}
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\varProblemA \karp \varProblemB
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\\\\
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\varProblemA \not\in P
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\end{cases}
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\implies
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\begin{cases}
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\\
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\varProblemB \not\in P
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\\\quad
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\end{cases}
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$$
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Infine, se due problemi possono ridursi a vicenda uno all'altro, essi sono [[problemi equivalenti|equivalenti]]:
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$$
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\large
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\begin{cases}
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\varProblemA \karp \varProblemB
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\\\\
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\varProblemB \karp \varProblemA
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\end{cases}
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\implies
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\begin{cases}
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\\
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\varProblemA \equiv_P \varProblemB
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\\\quad
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\end{cases}
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$$
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## Proprietà
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La [[riduzione di Karp]] è [[transitività|transitiva]]:
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$$
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\large
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\begin{cases}
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\varProblemA \karp \varProblemB
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\\\\
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\varProblemB \karp \varProblemC
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|
\end{cases}
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\implies
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\varProblemA \karp \varProblemC
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$$
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