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# Fenomeni aleatori
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Un fenomeno aleatorio è un qualcosa che ha una certa possibilità di avvenire, e se l'evento viene ripetuto all'infinito, avverrà sempre almeno una volta.
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Chiamiamo un fenome aleatorio con la terna (\omega, \corsivo{f}, \mathbb{P}).
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## \omega ("omegone", alfabeto)
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**\omega** rappresenta l'insieme non vuoto dei possibili risultati dell'evento.
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> In un lancio di dado a 6 facce, `\omega = {1, 2, 3, 4, 5, 6}`.
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I risultati sono anche detti _esiti sperimentali_.
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> **Esercizio 1**
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> Lanciando un dado, a quale parte di \omega corrispondono gli eventi:
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>
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> - ...il numero ottenuto è primo: `A = {2, 3, 5}`
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> - ...il numero ottenuto è divisibile per due: `B = {2, 4, 6}`
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> - ...il numero ottenuto è dispari: `C = {1, 3, 5}`
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> - ...il numero ottenuto è divisibile per tre: `D = {3, 6}`
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>
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> Abbiamo creato dei sottoinsiemi di \omega: `\omega \contains A, B, C, D`
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### Negazione
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Possiamo anche negare un sottoinsieme di eventi, aggiungendo ¬ prima del nome del sottoinsieme:
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> - ...il numero ottenuto **non** è primo: `¬A = {1, 4, 6}`
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> - ...il numero ottenuto **non** è divisibile per due: `¬B = {1, 3, 5}`
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> - ...il numero ottenuto **non** è dispari: `¬C = B = {2, 4, 6}`
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Due negazioni di sottoinsieme si annullano: `¬¬\omeghino = \omeghino`
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La definizione matematica è:
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```latex
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¬A = {\omeghino \in \omega | \omeghino \not \in A}
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```
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### Intersezioni
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Possiamo intersecare due sottoinsiemi per ottenere gli eventi che soddisfano entrambe le condizioni:
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> - ...il numero ottenuto è primo **e** divisibile per due: `A \cap B = {2}`
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> - ...il numero ottenuto è divisibile per due **e** per tre: `B \cap D = {6}`
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> - ...il numero ottenuto è divisibile per due **e** dispari: `B \cap C = {}`
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Due sottoinsiemi la cui intersezione è nulla sono **mutualmente esclusivi**.
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La definizione matematica è:
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```latex
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A \cup B = {\omeghino \in \omega | \omeghino \in A\ and\ \omeghino \in B}
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```
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### Unioni
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Possiamo unire due sottoinsiemi per ottenere gli eventi che soddisfano una delle due condizioni:
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> - ...il numero ottenuto è primo **o** divisibile per due: `A \cup B = {2, 3, 4, 5, 6}`
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> - ...il numero ottenuto è divisibile per due **o** è dispari: `C \cup D = \omega`
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La definizione matematica è:
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```latex
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A \cap B = {\omeghino \in \omega | \omeghino \in A\ or\ \omeghino \in B}
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```
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### Differenza
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Possiamo effettuare la differenza tra due sottoinsiemi, ma non ci è molto utile, in quanto si può comporre con intersezioni e negazioni: `A \ D = A \cap ¬D = {2, 5}`
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## \corsivo{f} (sigma-algebra, famiglia degli eventi)
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\corsivo{f} è detta la _sigma-algebra_, ed è l'insieme di tutti i risultati di operazioni effettuabili tra gli eventi: sono presenti in questo insieme l'insieme vuoto, l'insieme pieno e gli insiemi dati da qualsiasi combinazione di negazione, unione e intersezione di due sottoinsiemi.
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E' quello che in algebra lineare abbiamo chiamato uno **spazio chiuso** rispetto alle operazioni di negazione, intersezione e unione.
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E' lo **spazio generato dall'alfabeto \omega**.
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> In un lancio di moneta:
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> - `\omega = {"testa", "croce"}
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> - `\corsivo{f} = {\empty, {"testa"}, {"croce"}, \omega}
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Tutti i sottoinsiemi dati da operazioni su insiemi \in \corsivo{f} sono a loro volta \in \corsivo{f}.
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Possiamo generare ulteriori sigma-algebre da elementi di \corsivo{f}:
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> `\sigmino (B)` è la sigma-algebra generata da B, ovvero la più piccola f contenente `B`, ovvero `{\empty, B}`.
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## \mathbb{P} (Probabilità)
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\mathbb{P} = \corsivo{f} → \mathbb{R}+
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