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Fenomeni aleatori
Un fenomeno aleatorio è un qualcosa che ha una certa possibilità di avvenire, e se l'evento viene ripetuto all'infinito, avverrà sempre almeno una volta.
Chiamiamo un fenome aleatorio con la terna (\omega, \corsivo{f}, \mathbb{P}).
\omega ("omegone", alfabeto)
\omega rappresenta l'insieme non vuoto dei possibili risultati dell'evento.
In un lancio di dado a 6 facce,
\omega = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
I risultati sono anche detti esiti sperimentali.
Esercizio 1
Lanciando un dado, a quale parte di \omega corrispondono gli eventi:
- ...il numero ottenuto è primo:
A = {2, 3, 5}- ...il numero ottenuto è divisibile per due:
B = {2, 4, 6}- ...il numero ottenuto è dispari:
C = {1, 3, 5}- ...il numero ottenuto è divisibile per tre:
D = {3, 6}Abbiamo creato dei sottoinsiemi di \omega:
\omega \contains A, B, C, D
Negazione
Possiamo anche negare un sottoinsieme di eventi, aggiungendo ¬ prima del nome del sottoinsieme:
- ...il numero ottenuto non è primo:
¬A = {1, 4, 6}- ...il numero ottenuto non è divisibile per due:
¬B = {1, 3, 5}- ...il numero ottenuto non è dispari:
¬C = B = {2, 4, 6}
Due negazioni di sottoinsieme si annullano: ¬¬\omeghino = \omeghino
La definizione matematica è:
¬A = {\omeghino \in \omega | \omeghino \not \in A}
Intersezioni
Possiamo intersecare due sottoinsiemi per ottenere gli eventi che soddisfano entrambe le condizioni:
- ...il numero ottenuto è primo e divisibile per due:
A \cap B = {2}- ...il numero ottenuto è divisibile per due e per tre:
B \cap D = {6}- ...il numero ottenuto è divisibile per due e dispari:
B \cap C = {}
Due sottoinsiemi la cui intersezione è nulla sono mutualmente esclusivi.
La definizione matematica è:
A \cup B = {\omeghino \in \omega | \omeghino \in A\ and\ \omeghino \in B}
Unioni
Possiamo unire due sottoinsiemi per ottenere gli eventi che soddisfano una delle due condizioni:
- ...il numero ottenuto è primo o divisibile per due:
A \cup B = {2, 3, 4, 5, 6}- ...il numero ottenuto è divisibile per due o è dispari:
C \cup D = \omega
La definizione matematica è:
A \cap B = {\omeghino \in \omega | \omeghino \in A\ or\ \omeghino \in B}
Differenza
Possiamo effettuare la differenza tra due sottoinsiemi, ma non ci è molto utile, in quanto si può comporre con intersezioni e negazioni: A \ D = A \cap ¬D = {2, 5}
\corsivo{f} (sigma-algebra, famiglia degli eventi)
\corsivo{f} è detta la sigma-algebra, ed è l'insieme di tutti i risultati di operazioni effettuabili tra gli eventi: sono presenti in questo insieme l'insieme vuoto, l'insieme pieno e gli insiemi dati da qualsiasi combinazione di negazione, unione e intersezione di due sottoinsiemi.
E' quello che in algebra lineare abbiamo chiamato uno spazio chiuso rispetto alle operazioni di negazione, intersezione e unione.
E' lo spazio generato dall'alfabeto \omega.
In un lancio di moneta:
- `\omega = {"testa", "croce"}
- `\corsivo{f} = {\empty, {"testa"}, {"croce"}, \omega}
Tutti i sottoinsiemi dati da operazioni su insiemi \in \corsivo{f} sono a loro volta \in \corsivo{f}.
Possiamo generare ulteriori sigma-algebre da elementi di \corsivo{f}:
\sigmino (B)è la sigma-algebra generata da B, ovvero la più piccola f contenenteB, ovvero{\empty, B}.
\mathbb{P} (Probabilità)
\mathbb{P} = \corsivo{f} → \mathbb{R}+