appunti-steffo/7 - Introduction to quantum information processing/5 - Cose strane/costruire un Hardy state.md

Si vuole creare un Hardy state su due qbit nello stato neutro applicandovi tre gate quantistico universale: \def \ufirst {{\color{mediumpurple} \mathbf{U_A}}} \def \usecond {{\color{mediumorchid} \mathbf{U_B}}} \def \uthird {{\color{violet} \mathbf{U_C}}}

\def \kzero {{\color{darkgreen} 3}} \def \kone {{\color{forestgreen} 1}} \def \ktwo {{\color{limegreen} 1}} \def \kthree {{\color{lightgreen} -1}}

\def \notea {{\color{orangered} \Leftarrow}} \def \noteb {{\color{dodgerblue} \Rightarrow}}

\large \uthird \usecond \ufirst \ket{00} \quad

\quad \frac{ \kzero \ket{00} + \kone \ket{01} + \ktwo \ket{10} + \kthree \ket{11} }{\sqrt{12}} \quad

\quad \frac{1}{\sqrt{12}} \cdot { \begin{bmatrix} \kzero\ \kone\ \ktwo\ \kthree \end{bmatrix} }

Note

I universal gate costano di più dei gate quantistico universale, quindi per minimizzare il costo del circuito quantistico si:

1. \ufirst: utilizza un gate normale per configurare lo stato di \noteb
2. \usecond: utilizza un gate normale per configurare lo stato di \notea quando \ket{0}_\noteb
3. \uthird: utilizza un gate controllato per annullare le modifiche del passo precedente e inoltre configurare lo stato di \notea quando \ket{1}_\noteb.

Costruzione di \ufirst

Ricordiamo che è possibile invertire il prodotto tensoriale per separare i qbit:

\displaylines{ \ket{00} = \ket{0}\notea \otimes \ket{0}\noteb \ \ket{01} = \ket{0}\notea \otimes \ket{1}\noteb \ \ket{10} = \ket{1}\notea \otimes \ket{0}\noteb \ \ket{11} = \ket{1}\notea \otimes \ket{1}\noteb }

Vogliamo costruire il gate \ufirst da applicare solamente al qbit \noteb.

Possiamo separare i qbit dell'Hardy state in:
\frac{1}{\sqrt{12}} \cdot \left{ \begin{matrix} \kzero & \cdot & (\ket{0}\notea \otimes \ket{0}\noteb) \ & + \ \kone & \cdot & (\ket{0}\notea \otimes \ket{1}\noteb) \ & + \ \ktwo & \cdot & (\ket{1}\notea \otimes \ket{0}\noteb) \ & + \ \kthree & \cdot & (\ket{1}\notea \otimes \ket{1}\noteb) \end{matrix} \right}

Poi, possiamo raccogliere gli qbit \noteb, ottenendo: \frac{1}{\sqrt{12}} \cdot \left{ \begin{matrix} (& \kzero \cdot \ket{0}\notea & + & \ktwo \cdot \ket{1}\notea &) & \otimes & \ket{0}\noteb \ &&&&& + \ (& \kone \cdot \ket{0}\notea & + & \kthree \cdot \ket{1}\notea &) & \otimes & \ket{1}\noteb \end{matrix} \right}

Decidiamo di ignorare temporaneamente il qbit \notea; determiniamo le ampiezza del gate alla stato base di un qbit di \noteb:

\frac{1}{\sqrt{12}} \cdot \left{ \begin{matrix} \sqrt{ \kzero^2 + \ktwo^2 } & \otimes & \ket{0}\noteb \ & + \ \sqrt{ \kone^2 + \kthree^2 } & \otimes & \ket{1}\noteb \end{matrix} \right} \quad = \quad \frac{1}{\sqrt{12}} \cdot \left{ \begin{matrix} {\color{mediumaquamarine} \sqrt{ 10 }} & \otimes & \ket{0}\noteb \ & + \ {\color{palegreen} \sqrt{ 2 }} & \otimes & \ket{1}\noteb \end{matrix} \right}

Ricordando che lo stato iniziale del sistema è sempre \ket{0}_\noteb, e che il gate quantistico universale è definito come: \def \varX {a} \def \varY {b} \def \varZ {c} \def \varI {i}

\ufirst \quad = \quad \begin{bmatrix} {\color{mediumaquamarine} \cos \left( \frac{\varX}{2} \right)} & - e^{\varI \varZ} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right) \ {\color{palegreen} e^{\varI \varY} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right)} & e^{\varI \varY + \varI \varZ} \cos \left( \frac{\varX}{2} \right) \end{bmatrix} \quad = \quad \begin{bmatrix} {\color{mediumaquamarine} \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{12}}} & \ *\ \ {\color{palegreen} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{12}}} & \ *\ \end{bmatrix}

Possiamo mettere a sistema i seguenti vincoli per determinare il valore di \varX e \varY:

\begin{cases} {\color{mediumaquamarine} \cos \left( \frac{\varX}{2} \right)} & = & {\color{mediumaquamarine} \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{12}}} \

• e^{\varI \varZ} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right) & = &

\ {\color{palegreen} e^{\varI \varY} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right)} & = & {\color{palegreen} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{12}}} \ e^{\varI \varY + \varI \varZ} \cos \left( \frac{\varX}{2} \right) & = & * \end{cases}

Abbiamo dunque due variabili libere; per semplificare i calcoli, decidiamo di fissare \varY e \varZ a 0:

\begin{cases} {\color{mediumaquamarine} \cos \left( \frac{\varX}{2} \right)} & = & {\color{mediumaquamarine} \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{12}}} \ \varZ & = & 0 \ {\color{palegreen} e^{\varI \varY} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right)} & = & {\color{palegreen} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{12}}} \ \varY & = & 0 \end{cases}

Risolvendo il sistema: \begin{cases} {\color{mediumaquamarine} \cos \left( \frac{\varX}{2} \right)} & = & {\color{mediumaquamarine} \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{12}}} \ \varZ & = & 0 \ {\color{palegreen} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right)} & = & {\color{palegreen} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{12}}} \ \varY & = & 0 \end{cases} E poi: \begin{cases} {\color{mediumaquamarine} \varX} & = & {\color{mediumaquamarine} 2 \cdot \arccos \left( \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{12}} \right) } \ \varZ & = & 0 \ \varY & = & 0 \end{cases}

Visto che si vuole riprodurre l'Hardy state in un simulatore che necessita di numero razionale, determiniamo un'approssimazione del valore di \varX:

\begin{cases} {\color{mediumaquamarine} \varX} & \approx & {\color{mediumaquamarine} 0.841 } \ \varZ & = & 0 \ \varY & = & 0 \end{cases}

Costruzione di \usecond

Vogliamo costruire il gate quantistico universale \usecond da applicare al qbit \notea.

Ripetiamo lo stesso procedimento di prima, ma ignorando \ket{1}_{\noteb}, visto che ci interessa configurare il qbit per \ket{0}_\noteb: \frac{1}{\sqrt{\kzero^2 + \ktwo^2}} \cdot \left{ \begin{matrix} \kzero & \otimes & \ket{0}\notea \ & + \ \ktwo & \otimes & \ket{1}\notea \end{matrix} \right} \quad = \quad \frac{1}{\sqrt{10}} \cdot \left{ \begin{matrix} \kzero & \otimes & \ket{0}\notea \ & + \ \ktwo & \otimes & \ket{1}\notea \end{matrix} \right}

La sua matrice sarà quindi:

\def \varX {a} \def \varY {b} \def \varZ {c} \def \varI {i}

\usecond \quad = \quad \begin{bmatrix} {\color{darkgreen} \cos \left( \frac{\varX}{2} \right)} & - e^{\varI \varZ} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right) \ {\color{limegreen} e^{\varI \varY} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right)} & e^{\varI \varY + \varI \varZ} \cos \left( \frac{\varX}{2} \right) \end{bmatrix} \quad = \quad \begin{bmatrix} {\color{darkgreen} \frac{3}{\sqrt{10}}} & \ *\ \ {\color{limegreen} \frac{1}{\sqrt{10}}} & \ *\ \end{bmatrix}

E i vincoli: \begin{cases} {\color{darkgreen} \cos \left( \frac{\varX}{2} \right)} & = & {\color{darkgreen} \frac{3}{\sqrt{10}}} \

• e^{\varI \varZ} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right) & = &

\ {\color{limegreen} e^{\varI \varY} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right)} & = & {\color{limegreen} \frac{1}{\sqrt{10}}} \ e^{\varI \varY + \varI \varZ} \cos \left( \frac{\varX}{2} \right) & = & * \end{cases} Che diventano: \begin{cases} {\color{darkgreen} \varX} & = & {\color{darkgreen} 2 \cdot \arccos \left( \frac{3}{\sqrt{10}} \right) } \ \varZ & = & 0 \ \varY & = & 0 \end{cases} Approssimati: \begin{cases} {\color{darkgreen} \varX} & \approx & {\color{darkgreen} 0.643 } \ \varZ & = & 0 \ \varY & = & 0 \end{cases}

Costruzione di \uthird

Infine, vogliamo costruire il universal gate \uthird da applicare al qbit \notea.

Ci troviamo nello stato configurato dal gate \usecond per \ket{0}_\noteb: \frac{1}{\sqrt{10}} \left{ \begin{matrix} \kzero & \otimes & \ket{0}\notea \ & + \ \ktwo & \otimes & \ket{1}\notea \end{matrix} \right}

Vogliamo usare il gate \uthird per configurare lo stato per \ket{1}_\noteb al valore seguente:

\frac{1}{\sqrt{\kone^2 + \kthree^2}} \cdot \left{ \begin{matrix} \kone & \otimes & \ket{0}\notea \ & + \ \kthree & \otimes & \ket{1}\notea \end{matrix} \right} \quad = \quad \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \left{ \begin{matrix} \kone & \otimes & \ket{0}\notea \ & + \ \kthree & \otimes & \ket{1}\notea \end{matrix} \right} Abbiamo dunque che: \uthird \otimes \frac{1}{\sqrt{10}} \left{ \begin{matrix} \kzero & \otimes & \ket{0}\notea \ & + \ \ktwo & \otimes & \ket{1}\notea \end{matrix} \right} \quad = \quad \frac{1}{\sqrt{2}} \left{ \begin{matrix} \kone & \otimes & \ket{0}\notea \ & + \ \kthree & \otimes & \ket{1}\notea \end{matrix} \right} In forma matriciale: \uthird \otimes \frac{1}{\sqrt{10}} \begin{bmatrix} \kzero \ \ktwo \end{bmatrix} \quad = \quad \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} \kone \ \kthree \end{bmatrix} Portando tutto a destra, sfruttando l'operatore aggiunto: \uthird \quad = \quad \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} \kone \ \kthree \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \kzero \ \ktwo \end{bmatrix}^\dagger Che diventa: \uthird \quad = \quad \sqrt{5} \begin{bmatrix} \kone \ \kthree \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \kzero & \ktwo \end{bmatrix} Risolvendo il prodotto matriciale: \uthird \quad = \quad \sqrt{5} \begin{bmatrix} \kone \cdot \kzero & \kone \cdot \ktwo \ \kthree \cdot \kzero & \kthree \cdot \ktwo \end{bmatrix} Moltiplicando: \uthird \quad = \quad \sqrt{5} \begin{bmatrix} {\color{teal} 3} & {\color{aqua} 1} \ {\color{turquoise} -3} & {\color{aquamarine} -1} \end{bmatrix}

\def \varX {a} \def \varY {b} \def \varZ {c} \def \varI {i}

\begin{bmatrix} {\color{teal} \cos \left( \frac{\varX}{2} \right)} & {\color{aqua} - e^{\varI \varZ} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right)} \ {\color{turquoise} e^{\varI \varY} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right)} & {\color{aquamarine} e^{\varI \varY + \varI \varZ} \cos \left( \frac{\varX}{2} \right)} \end{bmatrix} \quad = \quad \sqrt{5} \begin{bmatrix} {\color{teal} 3} & {\color{aqua} 1} \ {\color{turquoise} -3} & {\color{aquamarine} -1} \end{bmatrix} ==BOH??==