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Si vuole creare un [[Hardy state]] su due [[qbit]] nello stato neutro applicandovi tre [[gate quantistico universale|gate quantistici universali]]:
|
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$$
|
|
\def \ufirst {{\color{mediumpurple} \mathbf{U_A}}}
|
|
\def \usecond {{\color{mediumorchid} \mathbf{U_B}}}
|
|
\def \uthird {{\color{violet} \mathbf{U_C}}}
|
|
|
|
\def \kzero {{\color{darkgreen} 3}}
|
|
\def \kone {{\color{forestgreen} 1}}
|
|
\def \ktwo {{\color{limegreen} 1}}
|
|
\def \kthree {{\color{lightgreen} -1}}
|
|
|
|
\def \notea {{\color{orangered} \Leftarrow}}
|
|
\def \noteb {{\color{dodgerblue} \Rightarrow}}
|
|
|
|
\large
|
|
\uthird
|
|
\usecond
|
|
\ufirst
|
|
\ket{00}
|
|
\quad
|
|
=
|
|
\quad
|
|
\frac{
|
|
\kzero \ket{00} +
|
|
\kone \ket{01} +
|
|
\ktwo \ket{10} +
|
|
\kthree \ket{11}
|
|
}{\sqrt{12}}
|
|
\quad
|
|
=
|
|
\quad
|
|
\frac{1}{\sqrt{12}}
|
|
\cdot
|
|
{
|
|
\begin{bmatrix}
|
|
\kzero\\
|
|
\kone\\
|
|
\ktwo\\
|
|
\kthree
|
|
\end{bmatrix}
|
|
}
|
|
$$
|
|
|
|
> [!Note]
|
|
> I [[universal gate|gate controllati]] costano di più dei [[gate quantistico universale|gate normali]], quindi per minimizzare il costo del [[circuito quantistico]] si:
|
|
> 1. $\ufirst$: utilizza un gate normale per configurare lo stato di $\noteb$
|
|
> 2. $\usecond$: utilizza un gate normale per configurare lo stato di $\notea$ quando $\ket{0}_\noteb$
|
|
> 3. $\uthird$: utilizza un gate controllato per annullare le modifiche del passo precedente e inoltre configurare lo stato di $\notea$ quando $\ket{1}_\noteb$.
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|
|
|
## Costruzione di $\ufirst$
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|
|
Ricordiamo che è possibile invertire il [[prodotto tensoriale]] per separare i [[qbit]]:
|
|
$$
|
|
|
|
\displaylines{
|
|
\ket{00} = \ket{0}_\notea \otimes \ket{0}_\noteb \\
|
|
\ket{01} = \ket{0}_\notea \otimes \ket{1}_\noteb \\
|
|
\ket{10} = \ket{1}_\notea \otimes \ket{0}_\noteb \\
|
|
\ket{11} = \ket{1}_\notea \otimes \ket{1}_\noteb
|
|
}
|
|
$$
|
|
|
|
Vogliamo costruire il gate $\ufirst$ da applicare solamente al [[qbit]] $\noteb$.
|
|
|
|
|
|
|
|
Possiamo separare i [[qbit]] dell'[[Hardy state]] in:
|
|
$$
|
|
\frac{1}{\sqrt{12}}
|
|
\cdot
|
|
\left\{
|
|
\begin{matrix}
|
|
\kzero & \cdot & (\ket{0}_\notea \otimes \ket{0}_\noteb) \\
|
|
& + \\
|
|
\kone & \cdot & (\ket{0}_\notea \otimes \ket{1}_\noteb) \\
|
|
& + \\
|
|
\ktwo & \cdot & (\ket{1}_\notea \otimes \ket{0}_\noteb) \\
|
|
& + \\
|
|
\kthree & \cdot & (\ket{1}_\notea \otimes \ket{1}_\noteb)
|
|
\end{matrix}
|
|
\right\}
|
|
$$
|
|
|
|
Poi, possiamo raccogliere gli [[qbit|stati del qbit]] $\noteb$, ottenendo:
|
|
$$
|
|
\frac{1}{\sqrt{12}}
|
|
\cdot
|
|
\left\{
|
|
\begin{matrix}
|
|
(& \kzero \cdot \ket{0}_\notea & + & \ktwo \cdot \ket{1}_\notea &) & \otimes & \ket{0}_\noteb \\
|
|
&&&&& + \\
|
|
(& \kone \cdot \ket{0}_\notea & + & \kthree \cdot \ket{1}_\notea &) & \otimes & \ket{1}_\noteb
|
|
\end{matrix}
|
|
\right\}
|
|
$$
|
|
|
|
Decidiamo di ignorare temporaneamente il [[qbit]] $\notea$; determiniamo le [[ampiezza|ampiezze]] del gate alla [[stato base di un qbit|base]] di $\noteb$:
|
|
|
|
$$
|
|
\frac{1}{\sqrt{12}}
|
|
\cdot
|
|
\left\{
|
|
\begin{matrix}
|
|
\sqrt{ \kzero^2 + \ktwo^2 } & \otimes & \ket{0}_\noteb \\
|
|
& + \\
|
|
\sqrt{ \kone^2 + \kthree^2 } & \otimes & \ket{1}_\noteb
|
|
\end{matrix}
|
|
\right\}
|
|
\quad = \quad
|
|
\frac{1}{\sqrt{12}}
|
|
\cdot
|
|
\left\{
|
|
\begin{matrix}
|
|
{\color{mediumaquamarine} \sqrt{ 10 }} & \otimes & \ket{0}_\noteb \\
|
|
& + \\
|
|
{\color{palegreen} \sqrt{ 2 }} & \otimes & \ket{1}_\noteb
|
|
\end{matrix}
|
|
\right\}
|
|
$$
|
|
|
|
Ricordando che lo stato iniziale del sistema è sempre $\ket{0}_\noteb$, e che il [[gate quantistico universale]] è definito come:
|
|
$$
|
|
\def \varX {a}
|
|
\def \varY {b}
|
|
\def \varZ {c}
|
|
\def \varI {i}
|
|
|
|
\ufirst
|
|
\quad = \quad
|
|
\begin{bmatrix}
|
|
{\color{mediumaquamarine} \cos \left( \frac{\varX}{2} \right)} &
|
|
- e^{\varI \varZ} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right) \\
|
|
{\color{palegreen} e^{\varI \varY} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right)} &
|
|
e^{\varI \varY + \varI \varZ} \cos \left( \frac{\varX}{2} \right)
|
|
\end{bmatrix}
|
|
\quad = \quad
|
|
\begin{bmatrix}
|
|
{\color{mediumaquamarine} \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{12}}} &
|
|
\ *\ \\
|
|
{\color{palegreen} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{12}}} &
|
|
\ *\
|
|
\end{bmatrix}
|
|
$$
|
|
|
|
Possiamo mettere a sistema i seguenti vincoli per determinare il valore di $\varX$ e $\varY$:
|
|
|
|
$$
|
|
\begin{cases}
|
|
{\color{mediumaquamarine} \cos \left( \frac{\varX}{2} \right)}
|
|
& = &
|
|
{\color{mediumaquamarine} \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{12}}}
|
|
\\
|
|
- e^{\varI \varZ} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right)
|
|
& = &
|
|
*
|
|
\\
|
|
{\color{palegreen} e^{\varI \varY} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right)}
|
|
& = &
|
|
{\color{palegreen} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{12}}}
|
|
\\
|
|
e^{\varI \varY + \varI \varZ} \cos \left( \frac{\varX}{2} \right)
|
|
& = &
|
|
*
|
|
\end{cases}
|
|
$$
|
|
|
|
Abbiamo dunque due variabili libere; per semplificare i calcoli, decidiamo di fissare $\varY$ e $\varZ$ a $0$:
|
|
|
|
$$
|
|
\begin{cases}
|
|
{\color{mediumaquamarine} \cos \left( \frac{\varX}{2} \right)}
|
|
& = &
|
|
{\color{mediumaquamarine} \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{12}}}
|
|
\\
|
|
\varZ
|
|
& = &
|
|
0
|
|
\\
|
|
{\color{palegreen} e^{\varI \varY} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right)}
|
|
& = &
|
|
{\color{palegreen} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{12}}}
|
|
\\
|
|
\varY
|
|
& = &
|
|
0
|
|
\end{cases}
|
|
$$
|
|
|
|
Risolvendo il sistema:
|
|
$$
|
|
\begin{cases}
|
|
{\color{mediumaquamarine} \cos \left( \frac{\varX}{2} \right)}
|
|
& = &
|
|
{\color{mediumaquamarine} \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{12}}}
|
|
\\
|
|
\varZ
|
|
& = &
|
|
0
|
|
\\
|
|
{\color{palegreen} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right)}
|
|
& = &
|
|
{\color{palegreen} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{12}}}
|
|
\\
|
|
\varY
|
|
& = &
|
|
0
|
|
\end{cases}
|
|
$$
|
|
E poi:
|
|
$$
|
|
\begin{cases}
|
|
{\color{mediumaquamarine} \varX}
|
|
& = &
|
|
{\color{mediumaquamarine} 2 \cdot \arccos \left( \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{12}} \right) }
|
|
\\
|
|
\varZ
|
|
& = &
|
|
0
|
|
\\
|
|
\varY
|
|
& = &
|
|
0
|
|
\end{cases}
|
|
$$
|
|
|
|
Visto che si vuole riprodurre l'[[Hardy state]] in un simulatore che necessita di [[numero razionale|numeri razionali]], determiniamo un'approssimazione del valore di $\varX$:
|
|
|
|
$$
|
|
\begin{cases}
|
|
{\color{mediumaquamarine} \varX}
|
|
& \approx &
|
|
{\color{mediumaquamarine} 0.841 }
|
|
\\
|
|
\varZ
|
|
& = &
|
|
0
|
|
\\
|
|
\varY
|
|
& = &
|
|
0
|
|
\end{cases}
|
|
$$
|
|
|
|
## Costruzione di $\usecond$
|
|
|
|
Vogliamo costruire il [[gate quantistico universale]] $\usecond$ da applicare al [[qbit]] $\notea$.
|
|
|
|
Ripetiamo lo stesso procedimento di prima, ma ignorando $\ket{1}_{\noteb}$, visto che ci interessa configurare il qbit per $\ket{0}_\noteb$:
|
|
$$
|
|
\frac{1}{\sqrt{\kzero^2 + \ktwo^2}}
|
|
\cdot
|
|
\left\{
|
|
\begin{matrix}
|
|
\kzero & \otimes & \ket{0}_\notea \\
|
|
& + \\
|
|
\ktwo & \otimes & \ket{1}_\notea
|
|
\end{matrix}
|
|
\right\}
|
|
\quad = \quad
|
|
\frac{1}{\sqrt{10}}
|
|
\cdot
|
|
\left\{
|
|
\begin{matrix}
|
|
\kzero & \otimes & \ket{0}_\notea \\
|
|
& + \\
|
|
\ktwo & \otimes & \ket{1}_\notea
|
|
\end{matrix}
|
|
\right\}
|
|
$$
|
|
|
|
La sua [[matrice]] sarà quindi:
|
|
|
|
$$
|
|
\def \varX {a}
|
|
\def \varY {b}
|
|
\def \varZ {c}
|
|
\def \varI {i}
|
|
|
|
\usecond
|
|
\quad = \quad
|
|
\begin{bmatrix}
|
|
{\color{darkgreen} \cos \left( \frac{\varX}{2} \right)} &
|
|
- e^{\varI \varZ} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right) \\
|
|
{\color{limegreen} e^{\varI \varY} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right)} &
|
|
e^{\varI \varY + \varI \varZ} \cos \left( \frac{\varX}{2} \right)
|
|
\end{bmatrix}
|
|
\quad = \quad
|
|
\begin{bmatrix}
|
|
{\color{darkgreen} \frac{3}{\sqrt{10}}} &
|
|
\ *\ \\
|
|
{\color{limegreen} \frac{1}{\sqrt{10}}} &
|
|
\ *\
|
|
\end{bmatrix}
|
|
$$
|
|
|
|
E i vincoli:
|
|
$$
|
|
\begin{cases}
|
|
{\color{darkgreen} \cos \left( \frac{\varX}{2} \right)}
|
|
& = &
|
|
{\color{darkgreen} \frac{3}{\sqrt{10}}}
|
|
\\
|
|
- e^{\varI \varZ} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right)
|
|
& = &
|
|
*
|
|
\\
|
|
{\color{limegreen} e^{\varI \varY} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right)}
|
|
& = &
|
|
{\color{limegreen} \frac{1}{\sqrt{10}}}
|
|
\\
|
|
e^{\varI \varY + \varI \varZ} \cos \left( \frac{\varX}{2} \right)
|
|
& = &
|
|
*
|
|
\end{cases}
|
|
$$
|
|
Che diventano:
|
|
$$
|
|
\begin{cases}
|
|
{\color{darkgreen} \varX}
|
|
& = &
|
|
{\color{darkgreen} 2 \cdot \arccos \left( \frac{3}{\sqrt{10}} \right) }
|
|
\\
|
|
\varZ
|
|
& = &
|
|
0
|
|
\\
|
|
\varY
|
|
& = &
|
|
0
|
|
\end{cases}
|
|
$$
|
|
Approssimati:
|
|
$$
|
|
\begin{cases}
|
|
{\color{darkgreen} \varX}
|
|
& \approx &
|
|
{\color{darkgreen} 0.643 }
|
|
\\
|
|
\varZ
|
|
& = &
|
|
0
|
|
\\
|
|
\varY
|
|
& = &
|
|
0
|
|
\end{cases}
|
|
$$
|
|
|
|
## Costruzione di $\uthird$
|
|
|
|
Infine, vogliamo costruire il [[universal gate]] $\uthird$ da applicare al [[qbit]] $\notea$.
|
|
|
|
Ci troviamo nello stato configurato dal gate $\usecond$ per $\ket{0}_\noteb$:
|
|
$$
|
|
\frac{1}{\sqrt{10}}
|
|
\left\{
|
|
\begin{matrix}
|
|
\kzero & \otimes & \ket{0}_\notea \\
|
|
& + \\
|
|
\ktwo & \otimes & \ket{1}_\notea
|
|
\end{matrix}
|
|
\right\}
|
|
$$
|
|
|
|
Vogliamo usare il gate $\uthird$ per configurare lo stato per $\ket{1}_\noteb$ al valore seguente:
|
|
|
|
$$
|
|
\frac{1}{\sqrt{\kone^2 + \kthree^2}}
|
|
\cdot
|
|
\left\{
|
|
\begin{matrix}
|
|
\kone & \otimes & \ket{0}_\notea \\
|
|
& + \\
|
|
\kthree & \otimes & \ket{1}_\notea
|
|
\end{matrix}
|
|
\right\}
|
|
\quad = \quad
|
|
\frac{1}{\sqrt{2}}
|
|
\cdot
|
|
\left\{
|
|
\begin{matrix}
|
|
\kone & \otimes & \ket{0}_\notea \\
|
|
& + \\
|
|
\kthree & \otimes & \ket{1}_\notea
|
|
\end{matrix}
|
|
\right\}
|
|
$$
|
|
Abbiamo dunque che:
|
|
$$
|
|
\uthird
|
|
\otimes
|
|
\frac{1}{\sqrt{10}}
|
|
\left\{
|
|
\begin{matrix}
|
|
\kzero & \otimes & \ket{0}_\notea \\
|
|
& + \\
|
|
\ktwo & \otimes & \ket{1}_\notea
|
|
\end{matrix}
|
|
\right\}
|
|
\quad = \quad
|
|
\frac{1}{\sqrt{2}}
|
|
\left\{
|
|
\begin{matrix}
|
|
\kone & \otimes & \ket{0}_\notea \\
|
|
& + \\
|
|
\kthree & \otimes & \ket{1}_\notea
|
|
\end{matrix}
|
|
\right\}
|
|
$$
|
|
In forma matriciale:
|
|
$$
|
|
\uthird
|
|
\otimes
|
|
\frac{1}{\sqrt{10}}
|
|
\begin{bmatrix}
|
|
\kzero \\
|
|
\ktwo
|
|
\end{bmatrix}
|
|
\quad = \quad
|
|
\frac{1}{\sqrt{2}}
|
|
\begin{bmatrix}
|
|
\kone \\
|
|
\kthree
|
|
\end{bmatrix}
|
|
$$
|
|
Portando tutto a destra, sfruttando l'[[operatore aggiunto]]:
|
|
$$
|
|
\uthird
|
|
\quad = \quad
|
|
\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}}
|
|
\begin{bmatrix}
|
|
\kone \\
|
|
\kthree
|
|
\end{bmatrix}
|
|
\begin{bmatrix}
|
|
\kzero \\
|
|
\ktwo
|
|
\end{bmatrix}^\dagger
|
|
$$
|
|
Che diventa:
|
|
$$
|
|
\uthird
|
|
\quad = \quad
|
|
\sqrt{5}
|
|
\begin{bmatrix}
|
|
\kone \\
|
|
\kthree
|
|
\end{bmatrix}
|
|
\begin{bmatrix}
|
|
\kzero &
|
|
\ktwo
|
|
\end{bmatrix}
|
|
$$
|
|
Risolvendo il [[prodotto matriciale]]:
|
|
$$
|
|
\uthird
|
|
\quad = \quad
|
|
\sqrt{5}
|
|
\begin{bmatrix}
|
|
\kone \cdot \kzero & \kone \cdot \ktwo \\
|
|
\kthree \cdot \kzero & \kthree \cdot \ktwo
|
|
\end{bmatrix}
|
|
$$
|
|
Moltiplicando:
|
|
$$
|
|
\uthird
|
|
\quad = \quad
|
|
\sqrt{5}
|
|
\begin{bmatrix}
|
|
{\color{teal} 3} & {\color{aqua} 1} \\
|
|
{\color{turquoise} -3} & {\color{aquamarine} -1}
|
|
\end{bmatrix}
|
|
$$
|
|
|
|
$$
|
|
\def \varX {a}
|
|
\def \varY {b}
|
|
\def \varZ {c}
|
|
\def \varI {i}
|
|
|
|
\begin{bmatrix}
|
|
{\color{teal} \cos \left( \frac{\varX}{2} \right)} &
|
|
{\color{aqua} - e^{\varI \varZ} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right)} \\
|
|
{\color{turquoise} e^{\varI \varY} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right)} &
|
|
{\color{aquamarine} e^{\varI \varY + \varI \varZ} \cos \left( \frac{\varX}{2} \right)}
|
|
\end{bmatrix}
|
|
\quad = \quad
|
|
\sqrt{5}
|
|
\begin{bmatrix}
|
|
{\color{teal} 3} & {\color{aqua} 1} \\
|
|
{\color{turquoise} -3} & {\color{aquamarine} -1}
|
|
\end{bmatrix}
|
|
$$
|
|
==BOH??==
|